Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) R^2=>=r(v1, v2, v3), em que v1=(2,4), v2=(20,40) e v3=(3,6).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o espaço é igual ao conjunto gerado pelos vetores , e . Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar saber o que significa um conjunto de vetores gerar um espaço e se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o espaço de todos os pares ordenados de números reais, ou seja, todo vetor onde e são números reais.

Passo 3

Quando a gente fala que um conjunto de vetores gera (a, b) = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 , significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer , existem números tais que:

Passo 4

Agora, vamos analisar os vetores dados:
  • v2 = 10 times v1 = (20,40)
  • v3 = 1.5 times v1 = (3,6)
Perceba que é 10 vezes :
E é 1,5 vezes :

Passo 5

Isso quer dizer que e são multiplicações escalares de . Ou seja, todos esses vetores estão na mesma direção e são linearmente dependentes. Quando os vetores são dependentes, eles não aumentam a dimensão do espaço gerado.

Passo 6

Já que todos os três vetores estão na mesma linha, o conjunto na verdade só gera uma linha inteira, que é uma dimensão, não todo o plano , que tem duas dimensões. Portanto, esses vetores não conseguem gerar todo o espaço .

Resposta

Falso. Os vetores dados são lineares e não conseguem gerar todo o espaço .

Exercícios relacionados