Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a)
, em que
e
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o espaço
é igual ao conjunto gerado pelos vetores
,
e
. Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar saber o que significa um conjunto de vetores gerar um espaço e se esses vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço de todos os pares ordenados de números reais, ou seja, todo vetor
onde
e
são números reais.
Passo 3
Quando a gente fala que um conjunto de vetores gera
, significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer
, existem números
tais que:
Passo 4
Agora, vamos analisar os vetores dados:
Perceba que
é 10 vezes
:
E
é 1,5 vezes
:
Passo 5
Isso quer dizer que
e
são multiplicações escalares de
. Ou seja, todos esses vetores estão na mesma direção e são linearmente dependentes. Quando os vetores são dependentes, eles não aumentam a dimensão do espaço gerado.
Passo 6
Já que todos os três vetores estão na mesma linha, o conjunto
na verdade só gera uma linha inteira, que é uma dimensão, não todo o plano
, que tem duas dimensões. Portanto, esses vetores não conseguem gerar todo o espaço
.
Resposta
Falso. Os vetores dados são lineares e não conseguem gerar todo o espaço
.