Seja W\left\{(x, y, z) \in R^{3} ;(x, y, z)\right. é solução de \left.S\right\} onde S é o sistema de equações lineares dado por:
S:\left\{\begin{array}{c} 2 x+2 y-6 z=a \\\ x-y+z=b \\\ y-2 z=c \end{array}\right.
Determine:
a) Que condições deve-se impor para a, b e c para que W seja um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} ?
b) Nas condições obtidas no item a, encontre uma base para W.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto W como o conjunto de soluções do sistema linear S. O sistema é:
S:\left\{\begin{array}{rcl} 2x+2y-6z &=& a\\[4pt] x-y+z &=& b\\[4pt] y-2z &=& c \end{array}\right.
As perguntas são:
a) Que condições sobre a, b e c fazem com que W seja um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}?
b) Sob essas condições, encontrar uma base para W.
Informações relevantes dadas: as três equações lineares com termos constantes a,b,c; W é o conjunto de todos os vetores (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que satisfazem essas três equações.]

Passo 2

Lembrete rápido (definição útil e estratégia): para um subconjunto W de \mathbb{R}^3 ser subespaço vetorial é necessário e suficiente que W contenha o vetor nulo (0,0,0) e seja fechado sob soma e multiplicação por escalar. No caso de conjuntos definidos como soluções de um sistema linear, uma condição simples e necessária para ser subespaço é que o sistema seja homogêneo (todos os termos constantes iguais a zero), pois o conjunto solução de um sistema homogêneo é o núcleo de uma transformação linear e portanto é subespaço.
Vou aplicar esse critério testando se (0,0,0) pertence a W.

Passo 3

Verificação direta: substituir (x,y,z)=(0,0,0) nas equações de S. Obtemos:
2\cdot 0 + 2\cdot 0 - 6\cdot 0 = 0, \qquad 0-0+0 = 0, \qquad 0-2\cdot 0 = 0.
Para que (0,0,0) seja solução de S é preciso que os termos do lado direito coincidam com esses zeros; ou seja, é necessário que
a=0,\qquad b=0,\qquad c=0.
Logo uma condição necessária para W ser subespaço é a=b=c=0.

Passo 4

Agora mostro que essa condição é também suficiente. Se a=b=c=0 então o sistema fica homogêneo:
\left\{\begin{array}{rcl} 2x+2y-6z &=& 0\\[4pt] x-y+z &=& 0\\[4pt] y-2z &=& 0 \end{array}\right.
O conjunto de soluções de um sistema homogêneo é o núcleo da transformação linear dada pela matriz dos coeficientes e, por definição, é um subespaço vetorial. Portanto se a=b=c=0 então W é subespaço de \mathbb{R}^3.
Concluímos assim que condição necessária e suficiente para W ser subespaço é
a=b=c=0.]

Passo 5

Agora, sob a condição a=b=c=0, vamos resolver o sistema homogêneo passo a passo para encontrar uma base de W.
Escrevendo novamente:
\left\{\begin{array}{rcl} 2x+2y-6z &=& 0\\[4pt] x-y+z &=& 0\\[4pt] y-2z &=& 0 \end{array}\right.
Começo pela terceira equação: ela dá uma expressão direta para y:
y-2z=0 \quad\Rightarrow\quad y=2z.
Substituo y=2z na segunda equação:
x - y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad x - (2z) + z = 0 \quad\Rightarrow\quad x - z = 0 \quad\Rightarrow\quad x = z.
Verifico a primeira equação usando x=z e y=2z:
2x+2y-6z = 2z + 4z -6z = 0,
isto é, a primeira equação é satisfeita automaticamente (é linearmente dependente das outras duas), então não impõe restrição adicional.
Portanto todos os vetores solução têm a forma
(x,y,z) = (z,\,2z,\,z).
Tomando z como parâmetro t\in\mathbb{R}, escrevemos
(x,y,z)=t(1,2,1).]

Passo 6

Interpretação final e construção da base: a solução geral é a reta unidimensional gerada pelo vetor (1,2,1). Assim W é um subespaço de dimensão 1 e um conjunto gerador mínimo (base) é formado pelo único vetor não-nulo que aparece:
\{(1,2,1)\}.
Esse vetor é não nulo, logo é linearmente independente, e seus múltiplos escalam exatamente todas as soluções, logo gera W.

Resposta

a) a=b=c=0
b) \{(1,2,1)\}

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