Determine:
a) Que condições deve-se impor para a, b e c para que W seja um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} ?
b) Nas condições obtidas no item a, encontre uma base para W.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto W como o conjunto de soluções do sistema linear S. O sistema é:
As perguntas são:
a) Que condições sobre a, b e c fazem com que W seja um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}?
b) Sob essas condições, encontrar uma base para W.
Informações relevantes dadas: as três equações lineares com termos constantes a,b,c; W é o conjunto de todos os vetores (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que satisfazem essas três equações.]
Passo 2
Lembrete rápido (definição útil e estratégia): para um subconjunto W de \mathbb{R}^3 ser subespaço vetorial é necessário e suficiente que W contenha o vetor nulo (0,0,0) e seja fechado sob soma e multiplicação por escalar. No caso de conjuntos definidos como soluções de um sistema linear, uma condição simples e necessária para ser subespaço é que o sistema seja homogêneo (todos os termos constantes iguais a zero), pois o conjunto solução de um sistema homogêneo é o núcleo de uma transformação linear e portanto é subespaço.
Vou aplicar esse critério testando se (0,0,0) pertence a W.
Passo 3
Verificação direta: substituir (x,y,z)=(0,0,0) nas equações de S. Obtemos:
O conjunto de soluções de um sistema homogêneo é o núcleo da transformação linear dada pela matriz dos coeficientes e, por definição, é um subespaço vetorial. Portanto se a=b=c=0 então W é subespaço de \mathbb{R}^3.
Concluímos assim que condição necessária e suficiente para W ser subespaço é
a=b=c=0.]
Passo 5
Agora, sob a condição a=b=c=0, vamos resolver o sistema homogêneo passo a passo para encontrar uma base de W.
Começo pela terceira equação: ela dá uma expressão direta para y:
y-2z=0 \quad\Rightarrow\quad y=2z.
Substituo y=2z na segunda equação:
x - y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad x - (2z) + z = 0 \quad\Rightarrow\quad x - z = 0 \quad\Rightarrow\quad x = z.
Verifico a primeira equação usando x=z e y=2z:
2x+2y-6z = 2z + 4z -6z = 0,
isto é, a primeira equação é satisfeita automaticamente (é linearmente dependente das outras duas), então não impõe restrição adicional.
Portanto todos os vetores solução têm a forma
(x,y,z) = (z,\,2z,\,z).
Tomando z como parâmetro t\in\mathbb{R}, escrevemos
(x,y,z)=t(1,2,1).]
Passo 6
Interpretação final e construção da base: a solução geral é a reta unidimensional gerada pelo vetor (1,2,1). Assim W é um subespaço de dimensão 1 e um conjunto gerador mínimo (base) é formado pelo único vetor não-nulo que aparece:
\{(1,2,1)\}.
Esse vetor é não nulo, logo é linearmente independente, e seus múltiplos escalam exatamente todas as soluções, logo gera W.