Seja 
  um conjunto e sejam 
  e 
  subconjuntos de 
 . Prove que 
  e 
  são disjuntos se e somente se 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que dois subconjuntos 
  e 
  de um conjunto 
  são disjuntos se e somente se 
  está dentro do complemento de 
  em 
 , ou seja, 
 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de conjuntos como conjuntos disjuntos, subconjuntos e complemento de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois conjuntos são disjuntos. Dois conjuntos 
  e 
  são disjuntos se eles não têm nenhum elemento em comum. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Agora, o complemento de 
  em 
 , denotado por 
 , é o conjunto de todos os elementos que estão em 
  mas não estão em 
 .
Passo 3
Vamos provar a implicação em duas partes:
- 
Se
e são disjuntos, então . Suponha quee são disjuntos, ou seja, . Isso significa que não existe nenhum elemento que esteja simultaneamente em e em . Portanto, todo elemento de deve estar em e não em , o que significa que está contido no complemento de em , isto é, .  
Passo 4
- 
Se
, então e são disjuntos. Agora, suponha que. Isso quer dizer que todo elemento de está em e não está em . Portanto, não há nenhum elemento que esteja simultaneamente em e em , o que implica que e não têm elementos em comum. Logo, e são disjuntos, ou seja, .  
Resposta
Concluímos que 
  e 
  são disjuntos se e somente se 
 .