Seja X i uma variável aleatória normal com parâmetro conhecido \mu e parâmetro desconhecido \sigma 2 :
f\left(x_{i}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2 \sigma^{2}}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}\right]
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de \boldsymbol{\sigma} \mathbf{2}, baseado em uma amostra de tamanho n.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o estimador de máxima verossimilhança de \sigma^{2}, baseado em uma amostra de tamanho n.\n
Informações dadas e hipóteses explícitas:
  • Cada observação X_{i} tem densidade
f\left(x_{i}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\left[-\frac{1}{2\sigma^{2}}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}\right].
  • O parâmetro \mu é conhecido.
  • O parâmetro \sigma^{2} é desconhecido e é o que queremos estimar.
  • Temos uma amostra independente e identicamente distribuída de tamanho n: X_{1},X_{2},\dots,X_{n}.
  • Objetivo: derivar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para \sigma^{2}.

Passo 2

Formule a função verossimilhança como o produto das densidades das n observações (pela independência). Essa é a definição de verossimilhança: é a função dos parâmetros dada a amostra observada. Assim:
L(\sigma^{2})=\prod_{i=1}^{n} f(x_{i})=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\left[-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x_{i}-\mu)^{2}\right].
Expliquei: multiplicamos cada densidade porque as observações são independentes; a verossimilhança é função de \sigma^{2} (com os x_{i} considerados fixos/observados).

Passo 3

Simplifique o produto para obter uma expressão mais manejável. Repare que temos n fatores idênticos na parte que envolve \sqrt{2\pi\sigma^{2}} e uma soma no expoente. Fazendo a multiplicação:
L(\sigma^{2})=(2\pi\sigma^{2})^{-n/2}\exp\!\left[-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}\right].
Expliquei: \prod_{i=1}^{n}(2\pi\sigma^{2})^{-1/2}=(2\pi\sigma^{2})^{-n/2} e os expoentes somam, virando -\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum (x_{i}-\mu)^{2}.

Passo 4

É muito mais fácil trabalhar com o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança), porque log transforma produtos em somas e simplifica derivadas. Definimos
\ell(\sigma^{2})=\ln L(\sigma^{2})=-\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^{2})-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}.
Expliquei: usei as propriedades do log para separar os termos; agora \ell(\sigma^{2}) é uma função escalar de \sigma^{2} que vamos maximizar.

Passo 5

Para encontrar o máximo, derivamos \ell(\sigma^{2}) em relação a \sigma^{2} e igualamos a zero (condição de primeira ordem). Lembre-se: \frac{d}{d\sigma^{2}}\ln(\sigma^{2})=\frac{1}{\sigma^{2}}. Derivando:
\frac{d\ell}{d\sigma^{2}}=-\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{\sigma^{2}}+\frac{1}{2(\sigma^{2})^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}.
Expliquei cada termo: derivada do primeiro termo -\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^{2}) -\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{\sigma^{2}}, e derivada do segundo termo -\frac{1}{2\sigma^{2}}S (onde S=\sum (x_{i}-\mu)^{2}) é +\frac{1}{2(\sigma^{2})^{2}}S.

Passo 6

Iguale a derivada a zero e resolva para \sigma^{2}. Coloque S=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2} para simplificar:
-\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{\sigma^{2}}+\frac{1}{2(\sigma^{2})^{2}}S=0.
Multiplicando ambos os lados por 2(\sigma^{2})^{2} obtemos
-n\sigma^{2}+S=0.
Logo,
\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}.
Expliquei o passo algébrico: multiplicação para eliminar denominadores, isolar \sigma^{2}.

Passo 7

Verifique que é realmente um máximo (condição de segunda ordem). Calcule a segunda derivada da log-verossimilhança:
\frac{d^{2}\ell}{d(\sigma^{2})^{2}}=\frac{n}{2(\sigma^{2})^{2}}-\frac{S}{(\sigma^{2})^{3}}.
Avalie essa segunda derivada no ponto \sigma^{2}=\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}. Usando S=n\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}} obtemos
\left.\frac{d^{2}\ell}{d(\sigma^{2})^{2}}\right|_{\sigma^{2}=\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}}=\frac{n}{2(\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}})^{2}}-\frac{n\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}}{(\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}})^{3}}=-\frac{n}{2(\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}})^{2}}<0.
Como a segunda derivada é negativa, o ponto encontrado é de fato um máximo local — e neste caso global para \sigma^{2}>0.

Passo 8

Interpretação adicional (útil na prova): quando \mu é conhecido, o estimador MLE
\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}
é também não viciado (unbiased). Explico rapidamente por que: cada (X_{i}-\mu)^{2} tem esperança \sigma^{2}, logo a média tem esperança \sigma^{2}. Observação contrastante: se \mu fosse desconhecido e substituído pela média amostral, o estimador com divisor n ficaria viciado e o divisor n-1 surge para obter um estimador não viciado.

Resposta

\hat{\sigma}^{2}_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}

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