Encontre o estimador de máxima verossimilhança de \boldsymbol{\sigma} \mathbf{2}, baseado em uma amostra de tamanho n.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o estimador de máxima verossimilhança de \sigma^{2}, baseado em uma amostra de tamanho n.\n
Informações dadas e hipóteses explícitas:
O parâmetro \sigma^{2} é desconhecido e é o que queremos estimar.
Temos uma amostra independente e identicamente distribuída de tamanho n: X_{1},X_{2},\dots,X_{n}.
Objetivo: derivar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para \sigma^{2}.
Passo 2
Formule a função verossimilhança como o produto das densidades das n observações (pela independência). Essa é a definição de verossimilhança: é a função dos parâmetros dada a amostra observada. Assim:
Expliquei: multiplicamos cada densidade porque as observações são independentes; a verossimilhança é função de \sigma^{2} (com os x_{i} considerados fixos/observados).
Passo 3
Simplifique o produto para obter uma expressão mais manejável. Repare que temos n fatores idênticos na parte que envolve \sqrt{2\pi\sigma^{2}} e uma soma no expoente. Fazendo a multiplicação:
Expliquei: \prod_{i=1}^{n}(2\pi\sigma^{2})^{-1/2}=(2\pi\sigma^{2})^{-n/2} e os expoentes somam, virando -\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum (x_{i}-\mu)^{2}.
Passo 4
É muito mais fácil trabalhar com o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança), porque log transforma produtos em somas e simplifica derivadas. Definimos
Expliquei: usei as propriedades do log para separar os termos; agora \ell(\sigma^{2}) é uma função escalar de \sigma^{2} que vamos maximizar.
Passo 5
Para encontrar o máximo, derivamos \ell(\sigma^{2}) em relação a \sigma^{2} e igualamos a zero (condição de primeira ordem). Lembre-se: \frac{d}{d\sigma^{2}}\ln(\sigma^{2})=\frac{1}{\sigma^{2}}. Derivando:
Expliquei cada termo: derivada do primeiro termo -\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^{2}) dá -\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{\sigma^{2}}, e derivada do segundo termo -\frac{1}{2\sigma^{2}}S (onde S=\sum (x_{i}-\mu)^{2}) é +\frac{1}{2(\sigma^{2})^{2}}S.
Passo 6
Iguale a derivada a zero e resolva para \sigma^{2}. Coloque S=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2} para simplificar:
é também não viciado (unbiased). Explico rapidamente por que: cada (X_{i}-\mu)^{2} tem esperança \sigma^{2}, logo a média tem esperança \sigma^{2}. Observação contrastante: se \mu fosse desconhecido e substituído pela média amostral, o estimador com divisor n ficaria viciado e o divisor n-1 surge para obter um estimador não viciado.