Os gastos médios com acomodação e refeição por ano de faculdades de quatro anos são de
.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a média amostral dos gastos com acomodação e refeição, ao selecionar aleatoriamente 9 faculdades de quatro anos, seja menor que
. Informações dadas (úteis para a resolução):
Também é dito que os gastos são normalmente distribuídos. A partir disso devemos calcular
.
Passo 2
Conceito importante (explicado bem devagar): quando retiramos uma amostra de tamanho
de uma população normalmente distribuída com média
e desvio padrão
, a distribuição da média amostral
é normal com média
e desvio padrão chamado erro padrão, igual a
. Em fórmulas:
Aqui:
-
é a média das observações da amostra; -
é a média verdadeira da população; -
é o desvio padrão da população; -
é o desvio padrão da média amostral (erro padrão).
Esse resultado vale exatamente porque a população é normal. Na prova, memorize: média da média ée desvio padrão é .
Passo 3
Calcular o erro padrão
. Substituindo os valores dados:
Explicando:
, então dividimos
por
e obtemos
.
Passo 4
Padronizar o evento usando a variável normal padrão
. A padronização transforma
em
Queremos
. Substituindo
e
:
Simplificando
: divido numerador e denominador por
,
Portanto o evento
equivale a
.
Passo 5
Interpretação e uso da tabela/funcão de distribuição normal padrão: a probabilidade pedida é
Agora consultamos uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística para o valor de
. Em tabelas usuais, o valor de
(função de distribuição acumulada da normal padrão) é
.
Passo 6
Conclusão numérica e interpretação final: a probabilidade de que a média amostral seja menor que
é aproximadamente
, ou seja, cerca de
. Isso significa que em muitas amostras aleatórias de tamanho
vindas dessa população, aproximadamente
das médias amostrais ficarão abaixo de
.