Os gastos médios com acomodação e refeição por ano de faculdades de quatro anos são de \mathbf{R} \$\(6803,00. Você seleciona aleatoriamente 9 faculdades de quatro anos. Qual é a probabilidade de que a média de gastos com acomodação e refeição seja menor que\)\mathbf{R \$7 0 8 8 , 0 0}\( ? Suponha que os gastos com acomodação e refeição sejam normalmente distribuídos, com um desvio padrão de \)\mathbf{R \$ 1 1 2 5 , 0 0}.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a média amostral dos gastos com acomodação e refeição, ao selecionar aleatoriamente 9 faculdades de quatro anos, seja menor que \,7088. Informações dadas (úteis para a resolução):
\text{média populacional } \mu = 6803é
\text{desvio padrão populacional } \sigma = 1125ã
\text{tamanho da amostra } n = 9
\text{evento de interesse: } \bar{X} < 7088
Também é dito que os gastos são normalmente distribuídos. A partir disso devemos calcular P(\bar{X} < 7088).

Passo 2

Conceito importante (explicado bem devagar): quando retiramos uma amostra de tamanho n de uma população normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, a distribuição da média amostral \bar{X} é normal com média \mu e desvio padrão chamado erro padrão, igual a \sigma/\sqrt{n}. Em fórmulas:
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
Aqui:
  • \bar{X} é a média das n observações da amostra;
  • \mu é a média verdadeira da população;
  • \sigma é o desvio padrão da população;
  • \sigma/\sqrt{n} é o desvio padrão da média amostral (erro padrão).
    Esse resultado vale exatamente porque a população é normal. Na prova, memorize: média da média é \mu e desvio padrão é \sigma/\sqrt{n}.

Passo 3

Calcular o erro padrão \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n}. Substituindo os valores dados:
\sigma_{\bar{X}}=\frac{1125}{\sqrt{9}}=\frac{1125}{3}=375.
Explicando: \sqrt{9}=3, então dividimos 1125 por 3 e obtemos 375.

Passo 4

Padronizar o evento usando a variável normal padrão Z. A padronização transforma \bar{X} em
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.
Queremos P(\bar{X}<7088). Substituindo \mu=6803 e \sigma_{\bar{X}}=375:
Z=\frac{7088-6803}{375}=\frac{285}{375}.
Simplificando \frac{285}{375}: divido numerador e denominador por 15,
\frac{285}{375}=\frac{19}{25}=0,76.
Portanto o evento \bar{X}<7088 equivale a Z<0,76.

Passo 5

Interpretação e uso da tabela/funcão de distribuição normal padrão: a probabilidade pedida é
P(\bar{X}<7088)=P\left(Z<0,76\right).
Agora consultamos uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística para o valor de P(Z<0,76). Em tabelas usuais, o valor de \Phi(0,76) (função de distribuição acumulada da normal padrão) é 0,7764.

Passo 6

Conclusão numérica e interpretação final: a probabilidade de que a média amostral seja menor que \,7088 é aproximadamente 0,7764, ou seja, cerca de 77,64\%. Isso significa que em muitas amostras aleatórias de tamanho 9 vindas dessa população, aproximadamente 77,64\% das médias amostrais ficarão abaixo de 7088.

Resposta

P(\bar{X}<7088)=0,7764
77,64\%

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