1. Seja X uma matriz n \times k.
    (a) Mostre que a matriz P \equiv X\left(X^{\prime} X\right)^{-1} X^{\prime} é idempotente. Lembre-se que P é a chamada matriz de projeção do estimador de mínimos quadrados ordinários.
    (b) Mostre que a matriz M \equiv I-P, onde I é a matrix identidade n \times n, é idempotente. Lembre-se que M é a chamada matriz aniquiladora do estimador de mínimos quadrados ordinários.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos duas coisas sobre matrizes relacionadas ao estimador de mínimos quadrados ordinários:
  1. Que a matriz de projeção
P \;\equiv\; X\bigl(X'X\bigr)^{-1}X'
é idempotente, isto é, satisfaz P^2 = P.
2. Que a matriz aniquiladora
M \;\equiv\; I - P
também é idempotente, ou seja, M^2 = M.
Vamos usar propriedades básicas de multiplicação de matrizes, associatividade e a definição de inversa para chegar a essas conclusões.

Passo 2

Para ver que P é idempotente, calculamos P^2 usando a definição de P e a associatividade:
P^2 = \Bigl[X(X'X)^{-1}X'\Bigr]\;\Bigl[X(X'X)^{-1}X'\Bigr].
Agrupando as matrizes centrais X'\!X:
P^2 = X\,(X'X)^{-1}\underbrace{X'\!X}_{\displaystyle X'X}\,(X'X)^{-1}X' = X\,(X'X)^{-1}\,I_k\,(X'X)^{-1}X' = X\,(X'X)^{-1}X' = P.
Aqui usamos que (X'X)^{-1}(X'X)=I_k, a identidade k\times k. Logo P^2 = P.

Passo 3

Definimos M = I - P. Para verificar M^2 = M, expandimos:
M^2 = (I - P)(I - P) = I - 2P + P^2.
Como já mostramos que P^2 = P, temos
M^2 = I - 2P + P = I - P = M.
Portanto, M também é idempotente.

Resposta

(a) P é idempotente pois P^2 = P.
(b) M é idempotente pois M^2 = M.

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