Seja X uma matriz n \times k.
(a) Mostre que a matriz P \equiv X\left(X^{\prime} X\right)^{-1} X^{\prime} é idempotente. Lembre-se que P é a chamada matriz de projeção do estimador de mínimos quadrados ordinários.
(b) Mostre que a matriz M \equiv I-P, onde I é a matrix identidade n \times n, é idempotente. Lembre-se que M é a chamada matriz aniquiladora do estimador de mínimos quadrados ordinários.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos duas coisas sobre matrizes relacionadas ao estimador de mínimos quadrados ordinários:
Que a matriz de projeção
P \;\equiv\; X\bigl(X'X\bigr)^{-1}X'
é idempotente, isto é, satisfaz P^2 = P.
2. Que a matriz aniquiladora
M \;\equiv\; I - P
também é idempotente, ou seja, M^2 = M.
Vamos usar propriedades básicas de multiplicação de matrizes, associatividade e a definição de inversa para chegar a essas conclusões.
Passo 2
Para ver que P é idempotente, calculamos P^2 usando a definição de P e a associatividade: