Seja x(n) um sinal linear, causal e invariante no tempo. Avalie os sistemas abaixo, que relacionam a saída y(n) com o sinal de entrada x(n), são lineares e/ou causais:
\mathrm{y}(\mathrm{n})=\mathrm{n}^{2} \mathrm{x}(\mathrm{n})

Passo 1

O sistema em estudo é o sistema discreto definido por \displaystyle y(n)=n^2\,x(n).
Precisamos verificar, usando as definições de sistema linear (superposição e homogeneidade) e de sistema causal (saída em n só depende de entradas em instantes k\le n), se esse sistema é linear e se é causal.

Passo 2

Teste de linearidade
Sejam x_1(n) e x_2(n) duas entradas quaisquer e a,b constantes. A saída para a entrada combinada a\,x_1(n)+b\,x_2(n) é
y(n)=n^2\bigl[a\,x_1(n)+b\,x_2(n)\bigr] =a\bigl[n^2x_1(n)\bigr]+b\bigl[n^2x_2(n)\bigr] =a\,y_1(n)+b\,y_2(n),
onde y_1(n)=n^2x_1(n) e y_2(n)=n^2x_2(n). Isso mostra que o sistema satisfaz superposição e homogeneidade, logo é linear.

Passo 3

Teste de causalidade
Para cada instante n, a saída y(n)=n^2x(n) depende apenas do valor presente x(n) (não há dependência de x(k) com k>n). Portanto, o sistema é causal.

Resposta

O sistema \;y(n)=n^2x(n)\; é linear e causal.

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