Seja x(n) um sinal linear, causal e invariante no tempo. Avalie os sistemas abaixo, que relacionam a saída y(n) com o sinal de entrada x(n), são lineares e/ou causais:
y(n)=x(n-2)-2 x(n-8)

Passo 1

O enunciado define um sistema T que associa à entrada x(n) a saída
y(n)=x(n-2)-2\,x(n-8).
Para responder se esse sistema é linear e se é causal, vamos usar as definições padrão:
– Linearidade: T[a\,x_1(n)+b\,x_2(n)]=a\,T[x_1(n)]+b\,T[x_2(n)].
– Causalidade: para cada n, y(n) só depende de valores de x(k) com k\le n.

Passo 2

Verificação de linearidade. Seja x(n)=a\,x_1(n)+b\,x_2(n). Então
T[x](n) =x(n-2)-2\,x(n-8) =[a\,x_1(n-2)+b\,x_2(n-2)]-2\,[a\,x_1(n-8)+b\,x_2(n-8)].
Agrupando termos,
T[x](n) =a\bigl[x_1(n-2)-2\,x_1(n-8)\bigr] +b\bigl[x_2(n-2)-2\,x_2(n-8)\bigr] =a\,T[x_1](n)+b\,T[x_2](n).
Logo, a superposição e a homogeneidade valem, e o sistema é linear.

Passo 3

Verificação de causalidade. Para um dado instante n, a saída é
y(n)=x(n-2)-2\,x(n-8),
ou seja, depende apenas de x em instantes n-2 e n-8. Como sempre n-2\le n e n-8\le n, não há dependência de valores futuros de x. Portanto, o sistema é causal.

Resposta

O sistema definido por y(n)=x(n-2)-2\,x(n-8) é linear e causal.

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