Seja X \sim \operatorname{Exp}\left(\frac{1}{10}\right).
Calcule: P(X \leq 5), P(4<X<6) e P(X \leq 7 \mid X>2).

Passo 1

O enunciado diz que X segue a distribuição exponencial com parâmetro de escala 10, ou seja, X\sim\operatorname{Exp}(1/10). Vamos usar a definição de densidade e a função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial, além da propriedade de falta de memória, para calcular as probabilidades pedidas.

Passo 2

A densidade de X é
f_X(x) = \frac{1}{10}e^{-x/10},\quad x\ge0,
e a função de distribuição acumulada é
F(x)=P(X\le x)=1-e^{-x/10}.

Passo 3

Para P(X\le5) basta avaliar a CDF em x=5:
P(X\le5)=F(5)=1-e^{-5/10}=1-e^{-0.5}.

Passo 4

Para P(4<X<6) usamos
P(4<X<6)=F(6)-F(4) =(1-e^{-6/10})\;-\;(1-e^{-4/10}) =e^{-4/10}-e^{-6/10}.

Passo 5

Para P(X\le7\mid X>2) temos por definição de probabilidade condicional
P(X\le7\mid X>2) =\frac{P(2<X\le7)}{P(X>2)} =\frac{F(7)-F(2)}{1-F(2)},
onde F(7)=1-e^{-7/10} e F(2)=1-e^{-2/10}. Se calcularmos isso diretamente, chega-se a
\frac{(1-e^{-7/10})-(1-e^{-2/10})}{e^{-2/10}} =\frac{e^{-2/10}-e^{-7/10}}{e^{-2/10}} =1-e^{-(7-2)/10}.
Mas, sabendo que a exponencial é sem memória, basta usar
P(X\le7\mid X>2)=P(X\le7-2)=P(X\le5)=1-e^{-5/10}.

Resposta

P(X\le5)=1-e^{-0.5}
P(4<X<6)=e^{-0.4}-e^{-0.6}
P(X\le7\mid X>2)=1-e^{-0.5}

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