Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidades dada por:
f(x)= \begin{cases}1 / 6 x+k, & \text { se } 0 \leq x \leq 3 \\\\ 0, & \text { c.c. }\end{cases}
a) Determine o valor de k ;
b) Calcule \mathrm{P}(1<\mathrm{X}<2);
c) Determine o valor de a de forma que \mathrm{P}(\mathrm{X}<a)=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X\) com densidade \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{6}+k, & 0\le x\le3,\\[6pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
Precisamos (a) normalizar a densidade para achar k\], (b) calcular \(\mathrm{P}(1<X<2) e (c) achar a tal que \mathrm{P}(X<a)=\tfrac12.]

Passo 2

Para determinar k impomos a normalização da densidade, isto é
\int_{0}^{3}\Bigl(\frac{x}{6}+k\Bigr)\,dx=1.
Calculando o integral:
\int_{0}^{3}\frac{x}{6}\,dx =\frac{1}{6}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{3} =\frac{1}{6}\cdot\frac{9}{2} =\frac{3}{4},
\int_{0}^{3}k\,dx =3k.
Logo
\frac{3}{4}+3k=1 \quad\Longrightarrow\quad 3k=\frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{12}.

Passo 3

Para \mathrm{P}(1<X<2) integramos a densidade de 1 a 2 usando k=\tfrac1{12}:
\mathrm{P}(1<X<2) =\int_{1}^{2}\Bigl(\frac{x}{6}+\frac{1}{12}\Bigr)\,dx =\int_{1}^{2}\frac{x}{6}\,dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{12}\,dx.
Calculando cada parte:
\int_{1}^{2}\frac{x}{6}\,dx =\frac{1}{6}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{1}^{2} =\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2} =\frac{1}{4},
\int_{1}^{2}\frac{1}{12}\,dx =\frac{1}{12}\cdot(2-1) =\frac{1}{12}.
Portanto
\mathrm{P}(1<X<2) =\frac{1}{4}+\frac{1}{12} =\frac{1}{3}.

Passo 4

Para achar a tal que \mathrm{P}(X<a)=\tfrac12 resolvemos
\int_{0}^{a}\Bigl(\frac{x}{6}+\frac{1}{12}\Bigr)\,dx =\frac12.
O integral é
\int_{0}^{a}\frac{x}{6}\,dx =\frac{a^{2}}{12}, \quad \int_{0}^{a}\frac{1}{12}\,dx =\frac{a}{12},
logo
\frac{a^{2}}{12}+\frac{a}{12} =\frac12 \quad\Longrightarrow\quad a^{2}+a-6=0.
As raízes são
a=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2} =\frac{-1\pm5}{2},
tomamos a positiva
a=2.

Resposta

a) k=\frac{1}{12}
b) \mathrm{P}(1<X<2)=\frac{1}{3}
c) a=2

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