Seja [X) uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição acumulada:
\mathrm{F}(\mathrm{x})= \begin{cases}0, & \text { se } \mathrm{x}<-2 \\\\ 1 / 5, & \text { se }-2 \leq \mathrm{x}<-1,5 \\\\ 1 / 2, & \text { se }-1,5 \leq \mathrm{x}<-1 \\\\ 3 / 5, & \text { se }-1 \leq \mathrm{x}<1 \\\\ 1, & \text { se } \mathrm{x} \geq 1\end{cases}
Calcule:
(\mathrm{P}\left(\mathrm{X}^{2}=1\right)].

Passo 1

O enunciado nos dá a função de distribuição acumulada F(x) de uma variável aleatória discreta X. Para encontrar probabilidades pontuais, usaremos a propriedade
P(X=a)=F(a)-\lim_{x\to a^-}F(x).
O objetivo é calcular P(X^2=1).

Passo 2

Precisamos identificar os pontos de salto de F(x) e calcular as massas associadas:
- Em x=-2:
P(X=-2)=F(-2)-\lim_{x\to(-2)^-}F(x)=\tfrac{1}{5}-0=\tfrac{1}{5}.
- Em x=-1,5:
P(X=-1,5)=F(-1,5)-\lim_{x\to(-1,5)^-}F(x)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}.
- Em x=-1:
P(X=-1)=F(-1)-\lim_{x\to(-1)^-}F(x)=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{10}.
- Em x=1:
P(X=1)=F(1)-\lim_{x\to1^-}F(x)=1-\tfrac{3}{5}=\tfrac{2}{5}.

Passo 3

O evento \{X^2=1\} ocorre exatamente quando X=1 ou X=-1.

Passo 4

Usando independência dos pontos (distribuição discreta),
P(X^2=1)=P(X=-1)+P(X=1)=\tfrac{1}{10}+\tfrac{2}{5}.

Passo 5

Somando as frações:
\tfrac{1}{10}+\tfrac{2}{5}=\tfrac{1}{10}+\tfrac{4}{10}=\tfrac{5}{10}=\tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{2}

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