Seja X uma variável aleatória discreta assumindo os valores
x1, x2, ldots, xn, ldots
e com função de probabilidade
p(xi)=P(X=xi)
Apresente a definição do conceito de Variância de X e explique sua relação com a média;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente definir o conceito de variância de uma variável aleatória discreta (com valores e probabilidades ) e explicar como isso se relaciona com a média. Ou seja, o conteúdo aqui é Estatística (medidas de tendência central e de dispersão) e a gente vai precisar lembrar primeiro o que é a média (esperança) de e depois usar isso pra definir a variância.

Passo 2

Antes de falar de variância, precisamos do valor esperado (ou média) de mu = E[X] = sumi xi , p(xi) . A média é basicamente o “ponto de equilíbrio” das probabilidades. A gente calcula assim:
Isso diz que você multiplica cada valor possível pela probabilidade de aparecer e soma tudo. Esse é o centro dos dados.

Passo 3

Agora sim, a variância. A variância mede o quanto a variável aleatória “se afasta” da média, em média (sem trocadilhos). A definição é:
Var(X) = El[(X - mu)^2r] = sumi (xi - mu)^2,p(xi)
O raciocínio é: para cada valor , a gente vê a diferença , que indica o desvio em relação à média, eleva ao quadrado (pra não cancelar positivos e negativos) e faz a média desses quadrados usando .

Passo 4

Relação com a média:
  • A média dá o “centro” dos dados.
  • A variância mostra o “tamanho” médio dos desvios em relação a esse centro.
Se é pequena, significa que os valores de tendem a ficar bem pertinho da média . Se é grande, eles fogem bastante daquele ponto central.

Resposta

boxed Var(X) = El[(X - mu)^2r] = sumi(xi - mu)^2,p(xi), onde mu = E[X] = sumixi,p(xi)

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