Seja
uma variável aleatória discreta assumindo os valores
e com função de probabilidade
Apresente a definição do conceito de Valor Esperado de
e explique sua relação com o conceito de média;
Passo 1
O enunciado pede pra gente apresentar a definição de Valor Esperado (ou Esperança) de uma variável aleatória discreta
que assume valores
com probabilidades
.
Conteúdo: probabilidade discreta e média (expectation).
O que vamos usar: conceito de soma ponderada e a ideia de média aritmética.
Conteúdo: probabilidade discreta e média (expectation).
O que vamos usar: conceito de soma ponderada e a ideia de média aritmética.
Passo 2
Antes de tudo, lembra que média aritmética de n números
é
A ideia do Valor Esperado é parecida, só que ao invés de somar tudo igualmente, a gente “pesa” cada valor
pela sua probabilidade
.
Passo 3
Definição de Valor Esperado (Esperança) de
:
Explicando:
- O somatório roda sobre todos os valores que
pode assumir. - Cada termo
é “o valor vezes a chance de ele acontecer”. - No final, essa soma dá uma média ponderada dos
, exatamente o que esperamos de uma “média” com probabilidades.
Passo 4
Relação com média aritmética:
- Se todas as probabilidades fossem iguais, isto é
, aí que é justamente a média aritmética. - No caso geral,
pode variar, então o Valor Esperado é uma generalização da média, onde cada conta mais ou menos conforme sua probabilidade.
Resposta
que é a média ponderada dos valores de
com pesos dados pelas probabilidades, servindo como “média teórica” da variável aleatória.