Seja X uma variável aleatória discreta assumindo os valores
x1, x2, ldots, xn, ldots
e com função de probabilidade
p(xi)=P(X=xi)
Apresente a definição do conceito de Valor Esperado de X e explique sua relação com o conceito de média;

Passo 1

O enunciado pede pra gente apresentar a definição de Valor Esperado (ou Esperança) de uma variável aleatória discreta que assume valores com probabilidades .
Conteúdo: probabilidade discreta e média (expectation).
O que vamos usar: conceito de soma ponderada e a ideia de média aritmética.

Passo 2

Antes de tudo, lembra que média aritmética de n números bar x = x1 + x2 + cdots + xnn é
A ideia do Valor Esperado é parecida, só que ao invés de somar tudo igualmente, a gente “pesa” cada valor pela sua probabilidade .

Passo 3

Definição de Valor Esperado (Esperança) de E[X] ;=; sumi xi ,p(xi) :
Explicando:
  1. O somatório roda sobre todos os valores que pode assumir.
  2. Cada termo é “o valor vezes a chance de ele acontecer”.
  3. No final, essa soma dá uma média ponderada dos , exatamente o que esperamos de uma “média” com probabilidades.

Passo 4

Relação com média aritmética:
  • Se todas as probabilidades fossem iguais, isto é E[X] ;=; sumi=1^n xi ,1n ;=; x1 + cdots + xnn, , aí que é justamente a média aritmética.
  • No caso geral, pode variar, então o Valor Esperado é uma generalização da média, onde cada conta mais ou menos conforme sua probabilidade.

Resposta

boxedE[X] ;=; sumi xi,p(xi),
que é a média ponderada dos valores de com pesos dados pelas probabilidades, servindo como “média teórica” da variável aleatória.

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