Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
.
Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória discreta
com as seguintes probabilidades:
O que nos pedem explicitamente:
- Calcular
(a expectativa ou valor médio de ). - Calcular
(a variância de ).
Passo 2
Vamos aprender o que é e como calcular a expectativa de uma variável discreta. A definição prática que usamos em provas é: a expectativa é a soma dos valores possíveis da variável multiplicados pelas suas probabilidades. Em fórmula:
Aqui cada
é um valor que
pode assumir, e
é a probabilidade correspondente. A ideia intuitiva: é o “média ponderada” dos valores, ponderada pelas probabilidades.
Passo 3
Aplicando a fórmula da expectativa ao nosso caso, somamos cada valor vezes sua probabilidade:
Agora calculamos termo a termo:
Somando:
Então a expectativa é
.
Passo 4
Agora a variância. Vou te explicar a ideia e a fórmula usada em prova. A variância mede o quanto os valores de
“se espalham” em torno da média. Uma forma prática (muito usada em provas) de calcular a variância é:
Aqui
é a expectativa do quadrado da variável, ou seja
. Eu uso essa fórmula porque evita calcular desvios individuais e somar quadrados; ela é rápida e segura em provas.
Passo 5
Calculemos primeiro
:
Computando cada termo:
Somando:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da variância:
Substituindo os valores que já encontramos (
e
):
Calculando o quadrado:
Portanto
A variância deu
. Observação rápida e motivadora: a variância é não negativa; aqui deu um número positivo, faz sentido.