Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
P(X=0)=0.2, \quad P(X=1)=0.5, \quad P(X=2)=0.3.
Calcule E[X] e \operatorname{Var}(X).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com as seguintes probabilidades:
P(X=0)=0,2,\qquad P(X=1)=0,5,\qquad P(X=2)=0,3.
O que nos pedem explicitamente:
  • Calcular \,E[X] (a expectativa ou valor médio de X).
  • Calcular \,\operatorname{Var}(X) (a variância de X).

Passo 2

Vamos aprender o que é e como calcular a expectativa de uma variável discreta. A definição prática que usamos em provas é: a expectativa é a soma dos valores possíveis da variável multiplicados pelas suas probabilidades. Em fórmula:
E[X]=\sum_x x\,P(X=x).
Aqui cada x é um valor que X pode assumir, e P(X=x) é a probabilidade correspondente. A ideia intuitiva: é o “média ponderada” dos valores, ponderada pelas probabilidades.

Passo 3

Aplicando a fórmula da expectativa ao nosso caso, somamos cada valor vezes sua probabilidade:
E[X]=0\cdot 0,2 + 1\cdot 0,5 + 2\cdot 0,3.
Agora calculamos termo a termo:
0\cdot 0,2 = 0, \qquad 1\cdot 0,5 = 0,5, \qquad 2\cdot 0,3 = 0,6.
Somando:
E[X]=0 + 0,5 + 0,6 = 1,1.
Então a expectativa é \,E[X]=1,1.

Passo 4

Agora a variância. Vou te explicar a ideia e a fórmula usada em prova. A variância mede o quanto os valores de X “se espalham” em torno da média. Uma forma prática (muito usada em provas) de calcular a variância é:
\operatorname{Var}(X)=E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2.
Aqui E[X^2] é a expectativa do quadrado da variável, ou seja \sum_x x^2 P(X=x). Eu uso essa fórmula porque evita calcular desvios individuais e somar quadrados; ela é rápida e segura em provas.

Passo 5

Calculemos primeiro E[X^2]:
E[X^2]=0^2\cdot 0,2 + 1^2\cdot 0,5 + 2^2\cdot 0,3.
Computando cada termo:
0^2\cdot 0,2 = 0,\qquad 1^2\cdot 0,5 = 0,5,\qquad 2^2\cdot 0,3 = 4\cdot 0,3 = 1,2.
Somando:
E[X^2]=0 + 0,5 + 1,2 = 1,7.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da variância:
\operatorname{Var}(X)=E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2.
Substituindo os valores que já encontramos ( E[X^2]=1,7 e E[X]=1,1):
\operatorname{Var}(X)=1,7 - (1,1)^2.
Calculando o quadrado:
(1,1)^2 = 1,21.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=1,7 - 1,21 = 0,49.
A variância deu \,0,49. Observação rápida e motivadora: a variância é não negativa; aqui deu um número positivo, faz sentido.

Resposta

E[X]=1,1
\operatorname{Var}(X)=0,49

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