Seja y=-\frac{2}{x^{2}+k}, k constante. Verifique que \frac{d y}{d x}-x y^{2}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
y=-\frac{2}{x^{2}+k},
onde k é constante, e pede para verificar que
\frac{dy}{dx}-x\,y^{2}=0.
O que vamos usar é a regra da cadeia para derivar uma potência e depois comparar com x\,y^{2}.

Passo 2

Escrevemos y como potência:
y=-2\,(x^{2}+k)^{-1}.
Aplicando a regra da cadeia, sua derivada é
\frac{dy}{dx} =-2\cdot(-1)\,(x^{2}+k)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+k) =2\cdot2x\,(x^{2}+k)^{-2} =\frac{4x}{(x^{2}+k)^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos y^{2} e multiplicamos por x:
y^{2} =\Bigl(-\tfrac{2}{x^{2}+k}\Bigr)^{2} =\frac{4}{(x^{2}+k)^{2}},
x\,y^{2} =x\cdot\frac{4}{(x^{2}+k)^{2}} =\frac{4x}{(x^{2}+k)^{2}}.

Passo 4

Observamos que
\frac{dy}{dx} =\frac{4x}{(x^{2}+k)^{2}} \quad\text{e}\quad x\,y^{2} =\frac{4x}{(x^{2}+k)^{2}},
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\frac{dy}{dx}-x\,y^{2} =0.

Resposta

Verificou-se que \displaystyle \frac{dy}{dx}-x\,y^{2}=0.

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