Seja y=x e^{x}. Verifique que y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y = x e^x
satisfaz a equação diferencial
y'' - 2y' + y = 0.
Para isso, vamos precisar aplicar a regra do produto para obter y' e y'' e em seguida substituir na equação.

Passo 2

Calculamos y' usando a regra do produto em y = x \cdot e^x:
y' = \frac{d}{dx}(x)\,e^x + x\,\frac{d}{dx}(e^x) = 1\cdot e^x + x\cdot e^x = (x+1)\,e^x.

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter y'':
y'' = \frac{d}{dx}\bigl((x+1)e^x\bigr) = \frac{d}{dx}(x+1)\,e^x + (x+1)\,\frac{d}{dx}(e^x) = 1\cdot e^x + (x+1)\,e^x = (x+2)\,e^x.

Passo 4

Substituímos y, y' e y'' em y'' - 2y' + y e simplificamos:
y'' - 2y' + y = (x+2)e^x - 2\,(x+1)e^x + x e^x = \bigl[(x+2) - 2(x+1) + x\bigr]e^x = \bigl[x+2 -2x -2 +x\bigr]e^x = 0\cdot e^x = 0.
Portanto, a igualdade está satisfeita.

Resposta

De fato,
y'' - 2y' + y = 0.

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