Encontre y^{\prime} nos seguintes casos
x^{2}+y^{2}+x y=2

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2}+y^{2}+x\,y=2
e pede a derivada \displaystyle y'=\tfrac{dy}{dx}. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, em que assumimos y=y(x) e aplicamos a regra do produto quando necessário.

Passo 2

Derivamos cada termo em relação a x, lembrando que \tfrac{d}{dx}(y)=y' e que, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(x\,y) =\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot \frac{d}{dx}(y) =1\cdot y + x\cdot y' =y + x\,y'.
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^2+y^2+xy\bigr) =2x + 2y\,y' + \bigl(y + x\,y'\bigr)
e do lado direito \tfrac{d}{dx}(2)=0.

Passo 3

Juntando tudo e igualando a zero, obtemos
2x + 2y\,y' + y + x\,y' = 0.
Agora agrupamos os termos que contêm y':
(2y + x)\,y' + (2x + y) = 0.

Passo 4

Isolamos y':
(2y + x)\,y' = -\,(2x + y) \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{2x + y}{2y + x}.

Resposta

y' = -\frac{2x + y}{2y + x}.

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