Seja y=a x+b, a melhor reta que ajusta n pontos considerando o Método dos Mínimos
Quadrados. Mostre que:
b=\frac{\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right) \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right) \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} \cdot y_{i}\right)}{n \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado trata de ajustar por mínimos quadrados a reta
y = a\,x + b
a n pontos \bigl(x_i,y_i\bigr).
O que precisamos é escrever a soma dos quadrados dos resíduos, obter as equações normais e daí isolar b.

Passo 2

Definimos a função objetivo
S(a,b)\;=\;\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - a\,x_i - b\bigr)^{2}.
Para minimizar em relação a a e a b tomamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial S}{\partial a}=0, \qquad \frac{\partial S}{\partial b}=0.

Passo 3

Calculando as duas condições de otimalidade, obtemos
\sum_{i=1}^n x_i\bigl(y_i - a\,x_i - b\bigr)=0, \qquad \sum_{i=1}^n\bigl(y_i - a\,x_i - b\bigr)=0.
Essas duas somas conduzem ao sistema linear das equações normais:
\sum_{i=1}^n y_i = a\sum_{i=1}^n x_i \;+\; n\,b,
\sum_{i=1}^n x_i\,y_i = a\sum_{i=1}^n x_i^2 \;+\; b\sum_{i=1}^n x_i.

Passo 4

Reescrevendo em forma matricial para (b,a):
\begin{pmatrix} n & \sum_{i=1}^n x_i\\[6pt] \sum_{i=1}^n x_i & \sum_{i=1}^n x_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}b\\[3pt]a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sum_{i=1}^n y_i\\[6pt]\sum_{i=1}^n x_i\,y_i\end{pmatrix}.
Pela regra de Cramer, o determinante principal é
D = n\;\sum_{i=1}^n x_i^2 \;-\;\bigl(\sum_{i=1}^n x_i\bigr)^{2},
e o determinante que substitui a coluna de b é
D_b = \sum_{i=1}^n x_i^2\;\sum_{i=1}^n y_i \;-\;\sum_{i=1}^n x_i\;\sum_{i=1}^n x_i\,y_i.
Então
b = \frac{D_b}{D}.]

Resposta

b = \frac{\displaystyle\bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\bigr)\,\bigl(\sum_{i=1}^{n}y_{i}\bigr)\;-\;\bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bigr)\,\bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\bigr)}% {\displaystyle n\,\bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\bigr)\;-\;\bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bigr)^{2}}.

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