Aproxime os dados da tabela abaixo, por uma função do tipo f(x)=b \cdot e^{a x}, usando o Método dos Mínimos Quadrados.
x 0 1 2
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 1.5 15 100

Passo 1

O enunciado fornece três pontos (x_i,f_i):
(0,1{,}5),\quad(1,15),\quad(2,100)
e pede ajuste pelo modelo
f(x)=b\,e^{a x}
usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos linearizar tomando Y_i=\ln(f_i), pois então
Y_i = \ln(b) + a\,x_i.

Passo 2

Definimos as variáveis lineares
Y_i = \ln(f_i),\quad A = \ln(b),
de modo que o ajuste por mínimos quadrados aplicado a
Y_i = A + a\,x_i
nos dá estimativas de a e A.

Passo 3

Calculamos os valores de Y_i:
Y_0 = \ln(1{,}5)\approx0{,}405465,\quad Y_1 = \ln(15)\approx2{,}708050,\quad Y_2 = \ln(100)\approx4{,}605170.

Passo 4

Computamos as somas necessárias:
\sum x_i = 0+1+2 = 3,\quad \sum Y_i \approx 0{,}405465 + 2{,}708050 + 4{,}605170 \approx 7{,}718685,
\sum x_i^2 = 0^2+1^2+2^2 = 5,\quad \sum x_i\,Y_i \approx 0\cdot0{,}405465 + 1\cdot2{,}708050 + 2\cdot4{,}605170 \approx 11{,}918390.

Passo 5

As fórmulas do ajuste linear por mínimos quadrados são
a = \frac{N\sum x_iY_i - \sum x_i\sum Y_i}{N\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2},\quad A = \frac{\sum Y_i - a\sum x_i}{N},
com N=3. Substituindo, obtemos
a \approx \frac{3\cdot11{,}918390 - 3\cdot7{,}718685}{3\cdot5 - 3^2} = \frac{35{,}755170 - 23{,}156055}{15 - 9} \approx 2{,}099855,
A \approx \frac{7{,}718685 - 2{,}099855\cdot3}{3} = \frac{7{,}718685 - 6{,}299565}{3} \approx 0{,}473038.

Passo 6

Voltando à escala original, \;b=e^A. Logo,
b \approx e^{0{,}473038}\approx1{,}6051.

Resposta

A função que ajusta os dados é
\boxed{f(x)\approx1{,}6051\,e^{2{,}099855\,x}.}

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