Seja
Calcule
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede para calcular
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
depende de e através de . -
e são funções de : e . - O objetivo é encontrar a derivada total de
em relação a : .
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: regra da cadeia para funções de várias variáveis. Quando
e
, a variação de
com respeito a
é dada por
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Intuição rápida: pequenas variações
e
causam
; dividindo por
e passando ao limite obtém-se a fórmula acima.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a (mantendo
fixo):
Derivando em relação a
Derivando em relação a
(mantendo
fixo):
Expliquei: ao derivar
em relação a
obtém-se
; o termo
é tratado como constante quando derivamos em
, e vice-versa.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Comentário curto: use a regra de potência para
e a derivada do seno para
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia substituindo
:
Passo 6
Agora substituir as expressões de
e
na fórmula acima:
então
Passo 7
Alternativa (checar sentido): compor primeiro
como função de
e derivar direto. Como
com
e
, tem-se
Derivando:
o mesmo resultado obtido antes — boa checagem. Observação trigonométrica:
, então o resultado pode ser escrito também como