Seja
z=f(x, y)=x^{2}+y^{2}, \quad x=t^{2}, \quad y=\sin t
Calcule
\frac{d z}{d t} .

Passo 1

O enunciado dá as funções
z=f(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad x=x(t)=t^{2},\qquad y=y(t)=\sin t,
e pede para calcular
\frac{dz}{dt}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • z depende de x e y através de f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • x e y são funções de t: x(t)=t^{2} e y(t)=\sin t.
  • O objetivo é encontrar a derivada total de z em relação a t: \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: regra da cadeia para funções de várias variáveis. Quando z=f(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), a variação de z com respeito a t é dada por
\frac{dz}{dt}=f_{x}(x,y)\,\frac{dx}{dt}+f_{y}(x,y)\,\frac{dy}{dt},
onde f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Intuição rápida: pequenas variações \Delta x e \Delta y causam \Delta z\approx f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y; dividindo por \Delta t e passando ao limite obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Derivando em relação a x (mantendo y fixo):
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=2x.
Derivando em relação a y (mantendo x fixo):
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=2y.
Expliquei: ao derivar x^{2} em relação a x obtém-se 2x; o termo y^{2} é tratado como constante quando derivamos em x, e vice-versa.

Passo 4

Calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)=\cos t.
Comentário curto: use a regra de potência para t^{2} e a derivada do seno para \sin t.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia substituindo f_{x},f_{y},\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}:
\frac{dz}{dt}=f_{x}(x,y)\,\frac{dx}{dt}+f_{y}(x,y)\,\frac{dy}{dt} = (2x)\cdot(2t)+(2y)\cdot(\cos t).

Passo 6

Agora substituir as expressões de x(t) e y(t) na fórmula acima:
x=t^{2},\qquad y=\sin t,
então
\frac{dz}{dt}=2(t^{2})\cdot 2t + 2(\sin t)\cdot\cos t =4t^{3}+2\sin t\cos t.

Passo 7

Alternativa (checar sentido): compor primeiro z como função de t e derivar direto. Como z=x^{2}+y^{2} com x=t^{2} e y=\sin t, tem-se
z(t)=t^{4}+\sin^{2}t.
Derivando:
\frac{dz}{dt}=4t^{3}+2\sin t\cos t,
o mesmo resultado obtido antes — boa checagem. Observação trigonométrica: 2\sin t\cos t=\sin(2t), então o resultado pode ser escrito também como
\frac{dz}{dt}=4t^{3}+\sin(2t).

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=4t^{3}+2\sin t\cos t=4t^{3}+\sin(2t)

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