Verifique se
f_{x y}=f_{y x}
para
f(x, y)=x^{2} y+\cos (x y) .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f_{x y}=f_{y x}
para a função
f(x,y)=x^{2}y+\cos(xy).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}y+\cos(xy).
  • A verificação consiste em calcular as derivadas parciais mistas \,f_{xy}\, e \,f_{yx}\, e comparar se são iguais.

Passo 2

O que é uma derivada parcial e como vamos proceder (um mini-aula):
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \,f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando x varia e y é considerado constante.
  • Análogamente, \,f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y} é a taxa de variação de f quando y varia e x é constante.
  • A derivada parcial mista \,f_{xy} significa: primeiro derivar em relação a x e depois em relação a y:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).
  • A derivada mista \,f_{yx} significa: primeiro derivar em relação a y e depois em relação a x:
f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Ferramentas que usaremos (explicação rápida):
  • Regra do produto: se g(x,y)=u(x,y)\,v(x,y), então \dfrac{\partial g}{\partial x}=u_x v+u v_x.
  • Regra da cadeia: se h(x,y)=\cos(u(x,y)), então h_x=-\sin(u(x,y))\cdot u_x.
    Vou aplicar essas regras passo a passo para evitar confusão.

Passo 3

Calcular \,f_x (derivada parcial de f em relação a x), lembrando que y é tratado como constante:
  • Derivada de x^{2}y em relação a x: y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2x\,y.
  • Derivada de \cos(xy) em relação a x: usar regra da cadeia com u(x,y)=xy. Tem-se
\frac{\partial}{\partial x}\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=-\sin(xy)\cdot y.
Portanto,
f_x=2xy - y\sin(xy).

Passo 4

Calcular \,f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x). Partimos de f_x=2xy - y\sin(xy).
  • Derivada de 2xy em relação a y (com x constante) é 2x.
  • Para -y\sin(xy) usamos a regra do produto (produto de y e \sin(xy)) e a cadeia:
    • Derivada de y em relação a y é 1, então a primeira parte dá \sin(xy).
    • A segunda parte: y vezes a derivada de \sin(xy) em relação a y. Pela cadeia,
    \frac{\partial}{\partial y}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=\cos(xy)\cdot x.
    • Então a derivada de y\sin(xy) é \sin(xy) + y\cdot x\cos(xy).
    • Como havia um sinal negativo antes do produto, a contribuição final é -\sin(xy) - xy\cos(xy).
      Somando as partes:
f_{xy}=2x - \sin(xy) - xy\cos(xy).

Passo 5

Calcular \,f_y (derivada parcial de f em relação a y), lembrando que x é tratado como constante:
  • Derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2}.
  • Derivada de \cos(xy) em relação a y: pela cadeia com u=xy,
\frac{\partial}{\partial y}\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=-\sin(xy)\cdot x.
Portanto,
f_y=x^{2} - x\sin(xy).

Passo 6

Calcular \,f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y). Partimos de f_y=x^{2} - x\sin(xy).
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • Para -x\sin(xy) usamos a regra do produto (produto de x e \sin(xy)) e a cadeia:
    • Derivada de x é 1, então dá \sin(xy).
    • A segunda parte: x vezes a derivada de \sin(xy) em relação a x. Pela cadeia,
    \frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=\cos(xy)\cdot y.
    • Assim a derivada de x\sin(xy) é \sin(xy) + x\cdot y\cos(xy).
    • Com o sinal negativo inicial, obtemos -\sin(xy) - xy\cos(xy).
      Somando as partes:
f_{yx}=2x - \sin(xy) - xy\cos(xy).

Passo 7

Comparando os resultados obtidos:
f_{xy}=2x - \sin(xy) - xy\cos(xy) \qquad\text{e}\qquad f_{yx}=2x - \sin(xy) - xy\cos(xy).
Portanto as duas derivadas parciais mistas coincidem ponto a ponto. Explicação teórica rápida (motivação): a função f(x,y)=x^{2}y+\cos(xy) é formada por funções elementares suaves (polinômio e composição com cosseno), logo as segundas derivadas parciais são contínuas, o que garante que as derivadas mistas são iguais (teorema de igualdade das derivadas mistas para funções C^{2}). Mas aqui já fizemos a verificação direta por cálculo.

Resposta

Sim. f_{xy}=f_{yx}=2x - \sin(xy) - xy\cos(xy)

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