Verifique se
para
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
para a função
Informações dadas:
- A função é
. - A verificação consiste em calcular as derivadas parciais mistas
e e comparar se são iguais.
Passo 2
O que é uma derivada parcial e como vamos proceder (um mini-aula):
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a taxa de variação de quando varia e é considerado constante. - Análogamente,
é a taxa de variação de quando varia e é constante. - A derivada parcial mista
significa: primeiro derivar em relação a e depois em relação a :
- A derivada mista
significa: primeiro derivar em relação a e depois em relação a :
Ferramentas que usaremos (explicação rápida):
- Regra do produto: se
, então . - Regra da cadeia: se
, então .
Vou aplicar essas regras passo a passo para evitar confusão.
Passo 3
Calcular
(derivada parcial de
em relação a
), lembrando que
é tratado como constante:
- Derivada de
em relação a : é constante, então . - Derivada de
em relação a : usar regra da cadeia com . Tem-se
Portanto,
Passo 4
Calcular
. Partimos de
.
- Derivada de
em relação a (com constante) é . - Para
usamos a regra do produto (produto de e ) e a cadeia: - Derivada de
em relação a é , então a primeira parte dá . - A segunda parte:
vezes a derivada de em relação a . Pela cadeia,
- Então a derivada de
é . - Como havia um sinal negativo antes do produto, a contribuição final é
.
Somando as partes:
- Derivada de
Passo 5
Calcular
(derivada parcial de
em relação a
), lembrando que
é tratado como constante:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a : pela cadeia com ,
Portanto,
Passo 6
Calcular
. Partimos de
.
- Derivada de
em relação a é . - Para
usamos a regra do produto (produto de e ) e a cadeia: - Derivada de
é , então dá . - A segunda parte:
vezes a derivada de em relação a . Pela cadeia,
- Assim a derivada de
é . - Com o sinal negativo inicial, obtemos
.
Somando as partes:
- Derivada de
Passo 7
Comparando os resultados obtidos:
Portanto as duas derivadas parciais mistas coincidem ponto a ponto. Explicação teórica rápida (motivação): a função
é formada por funções elementares suaves (polinômio e composição com cosseno), logo as segundas derivadas parciais são contínuas, o que garante que as derivadas mistas são iguais (teorema de igualdade das derivadas mistas para funções
). Mas aqui já fizemos a verificação direta por cálculo.
Resposta
Sim.