Seja
uma variável aleatória normal padrão. Calcule:
o valor que
não ultrapassa com probabilidade 0.8
o valor que
Passo 1
O enunciado diz que
é uma variável aleatória normal padrão e pede: "o valor que
não ultrapassa com probabilidade
".
Informações relevantes:
Informações relevantes:
-
tem distribuição normal padrão, isto é, média e desvio padrão . - Queremos encontrar um número
tal que .
Passo 2
Vamos formalizar o que precisamos achar. Denotamos por
a função distribuição acumulada (CDF) da normal padrão:
O problema pede o quantil de ordem
, ou seja, o valor
que satisfaz
Esse
também é escrito como
, a inversa da CDF no nível
. Explico a ideia: a CDF dá a probabilidade acumulada até
; a inversa nos diz para qual
essa probabilidade é exatamente
.
Passo 3
Propriedades úteis (explicando devagar):
-
é monotonicamente crescente, então existe um único tal que . - Pela simetria da normal padrão, temos
. Isso é útil se estivéssemos procurando quantis baixos, mas aqui então esperamos um .
Outra forma de escrever o mesmo pedido é
Passo 4
Como resolver na prática (jeito típico em provas): usamos uma tabela da normal padrão que dá valores de
para
com duas casas decimais, ou usamos uma calculadora/ software com função inversa. Vou mostrar com a tabela (método que dá intuição e é pedido com frequência nas provas).
Peguei os valores da tabela da normal padrão:
Peguei os valores da tabela da normal padrão:
Esses dois valores mostram que o quantil procurado está entre
e
, porque
.
Passo 5
Para obter uma aproximação mais precisa podemos interpolar linearmente entre
e
. Vou fazer isso passo a passo.
Diferença entre os valores da tabela:
Quanto falta, a partir de
, para chegar em
:
A fração do intervalo que precisamos percorrer entre
e
é
Como o intervalo em
entre
e
é
, a correção em
é aproximadamente
Portanto a estimativa linear é
Passo 6
Comentário sobre precisão: a interpolação linear na tabela dá
. A inversa da CDF calculada com mais precisão (usando software) é
Arredondando a convenção comum para quatro casas decimais, obtemos
. Ambas as aproximações (
via interpolação e
via valor mais preciso) coincidem na prática até a terceira casa decimal e são aceitáveis em provas dependendo da precisão pedida.