Seja Z uma variável aleatória normal padrão. Calcule:
o valor que Z não ultrapassa com probabilidade 0.8

Passo 1

O enunciado diz que Z é uma variável aleatória normal padrão e pede: "o valor que Z não ultrapassa com probabilidade 0,8".
Informações relevantes:
  • Z tem distribuição normal padrão, isto é, média 0 e desvio padrão 1.
  • Queremos encontrar um número z tal que P(Z \le z)=0,8.

Passo 2

Vamos formalizar o que precisamos achar. Denotamos por \Phi a função distribuição acumulada (CDF) da normal padrão:
\Phi(z)=P(Z\le z).
O problema pede o quantil de ordem 0,8, ou seja, o valor z que satisfaz
\Phi(z)=0,8.
Esse z também é escrito como z_{0,8}=\Phi^{-1}(0,8), a inversa da CDF no nível 0,8. Explico a ideia: a CDF dá a probabilidade acumulada até z; a inversa nos diz para qual z essa probabilidade é exatamente 0,8.

Passo 3

Propriedades úteis (explicando devagar):
  • \Phi é monotonicamente crescente, então existe um único z tal que \Phi(z)=0,8.
  • Pela simetria da normal padrão, temos \Phi(-z)=1-\Phi(z). Isso é útil se estivéssemos procurando quantis baixos, mas aqui 0,8>0,5 então esperamos um z>0.
    Outra forma de escrever o mesmo pedido é
P(Z>z)=1-\Phi(z)=0,2.

Passo 4

Como resolver na prática (jeito típico em provas): usamos uma tabela da normal padrão que dá valores de \Phi(z) para z com duas casas decimais, ou usamos uma calculadora/ software com função inversa. Vou mostrar com a tabela (método que dá intuição e é pedido com frequência nas provas).
Peguei os valores da tabela da normal padrão:
\Phi(0,84)=0,7995
\Phi(0,85)=0,8023
Esses dois valores mostram que o quantil procurado está entre 0,84 e 0,85, porque 0,7995<0,8<0,8023.

Passo 5

Para obter uma aproximação mais precisa podemos interpolar linearmente entre 0,84 e 0,85. Vou fazer isso passo a passo.
Diferença entre os valores da tabela:
0,8023-0,7995=0,0028.
Quanto falta, a partir de \Phi(0,84), para chegar em 0,8:
0,8-0,7995=0,0005.
A fração do intervalo que precisamos percorrer entre 0,84 e 0,85 é
\frac{0,0005}{0,0028}\approx 0,1786.
Como o intervalo em z entre 0,84 e 0,85 é 0,01, a correção em z é aproximadamente
0,1786\times 0,01\approx 0,001786.
Portanto a estimativa linear é
z\approx 0,84+0,001786 \approx 0,8418.

Passo 6

Comentário sobre precisão: a interpolação linear na tabela dá z\approx 0,8418. A inversa da CDF calculada com mais precisão (usando software) é
\Phi^{-1}(0,8)\approx 0,841621\ldots
Arredondando a convenção comum para quatro casas decimais, obtemos 0,8416. Ambas as aproximações ( 0,8418 via interpolação e 0,8416 via valor mais preciso) coincidem na prática até a terceira casa decimal e são aceitáveis em provas dependendo da precisão pedida.

Resposta

z\approx 0,8416

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