Sejam
números reais. O conjunto H de todos os vetores
tais que
é um subespaço vetorial de
. No caso desinteressante em que
, o subespaço
é todo o
. Se, ao contrário, pelo menos um dos
é
, H chama-se um hiperplano de
que passa pela origem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente está lidando com subespaços vetoriais e hiperplanos no espaço
. O enunciado define um conjunto
formado por vetores que satisfazem uma certa equação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e o que caracteriza um hiperplano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que um conjunto
é um subespaço vetorial de
. Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- Fechado sob adição: se você pegar dois vetores em
, a soma deles também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: se você multiplicar um vetor de
por um número real, o resultado também está em .
Passo 3
No nosso caso, o conjunto
é definido por todos os vetores
que satisfazem a equação:
Essa é uma equação linear. Agora vamos verificar se
atende às três condições de um subespaço.
Passo 4
1. Contém o vetor zero: Se substituirmos todos os
por zero, a equação fica
, que é verdadeira. Então, o vetor zero está em
.
Passo 5
2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores
e
em
. Isso significa que:
A soma
também deve satisfazer a equação:
Então,
está em
.
Passo 6
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Pegando um vetor
em
e um escalar
, temos:
Portanto,
também está em
.
Passo 7
Como
satisfaz as três condições, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
Passo 8
Agora, vamos analisar os casos especiais mencionados no enunciado:
-
Caso todos os
: A equação fica , que é sempre verdadeira para qualquer vetor em . Isso significa que contém todos os vetores de , ou seja, . -
Caso pelo menos um dos
: A equação representa uma condição não trivial que restringe os vetores a um “hiperplano” que passa pela origem. Um hiperplano em é um subespaço de dimensão , o que significa que ele “corta” o espaço em -dimensões.
Passo 9
Então, resumindo:
- Se todos os
forem zero, é todo o espaço . - Se pelo menos um
for diferente de zero, é um hiperplano que passa pela origem.
Resposta
Portanto, o conjunto
definido pela equação
é um subespaço vetorial de
. Ele é igual a todo o
quando todos os coeficientes
são zero, e é um hiperplano passando pela origem caso pelo menos um
seja diferente de zero.