Suponha
e
ciclos disjuntos de
, digamos
e
com
, para todo
e
.
Calcule
e
, prara todo
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas permutações, chamadas
e
, que são ciclos disjuntos no conjunto
. Isso quer dizer que os elementos que estão em
não estão em
e vice-versa. A permutação
é dada por
e
, onde nenhum
é igual a nenhum
. A tarefa é calcular
e
para todo
entre 1 e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a composição de duas permutações. Quando temos
, isso significa que primeiro aplicamos
em
e depois aplicamos
no resultado. Em termos matemáticos, é
.
Passo 3
Como
e
são ciclos disjuntos, os elementos de
não são afetados por
, e vice-versa. Então, se pegarmos um elemento
que está em
, aplicar
sobre ele não vai mudar nada, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar
ao resultado de
. Já vimos que
, então temos:
O que significa aplicar
em
. Pela definição de ciclo,
é o próximo elemento no ciclo
. Então:
E quando
, voltamos para o início do ciclo:
Passo 5
Vamos fazer o mesmo para
. Nesse caso, primeiro aplicamos
em
e depois
no resultado:
Como
está em
e
e
são disjuntos,
não faz nada com
. Então:
Resposta
Portanto, para todo
:
E