Sejam \alpha e \beta bases ordenadas de \mathbb{R}^{3} tais que [I]_{\alpha}^{\beta}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right].
(a) Seja u \in \mathbb{R}^{3} tal que [u]_{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]. Determine [u]_{\alpha}.
(b) Seja v \in \mathbb{R}^{3} tal que [v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]. Determine [v]_{\beta}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de base
M \;=\;[I]_{\alpha}^{\beta} \;=\;\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
que satisfaz, para qualquer vetor x\in\mathbb{R}^3,
[x]_{\beta} \;=\; M\,[x]_{\alpha}.
(a) Como [u]_{\beta} é dado, para obter [u]_{\alpha} precisamos inverter essa relação:
[u]_{\alpha} \;=\; M^{-1}\,[u]_{\beta}.
(b) Já para [v]_{\alpha} dado, usamos diretamente
[v]_{\beta} \;=\; M\,[v]_{\alpha}.

Passo 2

Calculemos M^{-1}. Primeiro o determinante:
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&-1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} =1\cdot(1)-1\cdot(-1)=2.
Em seguida, por cofatores e adjunta, obtém‐se
M^{-1} =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & -1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para o item (a), multiplica‐se M^{-1} pelo vetor [u]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}:
[u]_{\alpha} =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & -1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+2+3\\\\ 1-2-3\\\\ 1+2-3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Para o item (b), aplica‐se M diretamente a [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}:
[v]_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2+0\\\\ 0-2+3\\\\ 1+0-3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle [u]_{\alpha}=\begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.

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