Sejam \alpha=\{(1,0),(0,2)\}, \beta=\{(-1,0),(1,1)\}, \gamma=\{(1,1),(-1,0)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}. Determine:
[I]_{\gamma}^{\beta}

Passo 1

O enunciado pede a matriz de representação do operador identidade
I\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2
quando os vetores de entrada estão coordenados na base \gamma e os de saída na base \beta. Isso é um problema de mudança de base: os vetores de \gamma devem ser expressos em coordenadas de \beta.

Passo 2

Chamemos
g_1 = (1,1),\quad g_2 = (-1,0)
os vetores de \gamma, e
b_1 = (-1,0),\quad b_2 = (1,1)
os vetores de \beta. A coluna j de [I]_{\gamma}^{\beta} é dado pelas coordenadas de g_j na base \beta.

Passo 3

Para g_1 = (1,1)\) queremos escalar \(b_1\) e \(b_2\) tais que \[c_1\,b_1 + c_2\,b_2 = g_1.
Isso dá o sistema
\begin{cases} -\,c_1 + c_2 = 1,\\\ \phantom{-}0\cdot c_1 + c_2 = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem c_2=1\] e, substituindo na primeira, \(c_1=0. Logo as coordenadas de g_1 em \beta são \bigl(c_1,c_2\bigr)=(0,1).

Passo 4

Para g_2 = (-1,0)\) resolvemos \[d_1\,b_1 + d_2\,b_2 = g_2,
isto é
\begin{cases} -\,d_1 + d_2 = -1,\\\ \phantom{-}0\cdot d_1 + d_2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem d_2=0\] e, na primeira, \(-d_1=-1 leva a d_1=1. Assim as coordenadas de g_2 em \beta são \bigl(d_1,d_2\bigr)=(1,0).

Passo 5

Montando a matriz cujas colunas são essas coordenadas, obtemos
[I]_{\gamma}^{\beta} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{\gamma}^{\beta} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

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