Sejam 
  e 
  bases ordenadas de 
 . Se 
 , determine 
  e 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três bases diferentes para o espaço 
 : 
  (a base padrão), 
  e 
 . A gente sabe as coordenadas de um vetor 
  na base 
  e precisa descobrir como ele fica nas bases 
  e 
 . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter as coordenadas de 
  na base 
 . O vetor 
  está representado como 
 . Isso significa que:
Vamos calcular isso para encontrar as coordenadas de 
  na base padrão 
 .
Passo 3
Multiplicando os escalares pelos vetores da base 
 :
Agora, somamos esses resultados para obter 
 :
Então, as coordenadas de 
  na base 
  (a base padrão) são 
 .
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas de 
  na base 
 . Para isso, precisamos expressar 
  como uma combinação linear dos vetores da base 
 :
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, as coordenadas de 
  na base 
  são 
 .
Resposta
As coordenadas do vetor 
  são: