Sejam
e
. Exiba, se possível:
injetora mas não sobrejetora.
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
A tarefa é: exibir, se possível, uma função
que seja injetora (uma-para-um) mas não sobrejetora (não atinja todos os elementos de
). Em outras palavras, procurar
tal que:
-
seja injetora: para quaisquer , . -
não seja sobrejetora: existe algum elemento de que não é imagem de nenhum elemento de .
Passo 2
Definições importantes (explicadas passo a passo):
- Injetora (uma-para-um):
. Isso significa que elementos distintos do domínio têm imagens distintas. - Sobrejetora (sobre):
tal que . Ou seja, toda aparece como imagem de algum .
Uma consequência imediata da definição de injetora é que os elementos de
são enviados para elementos distintos de
; portanto o conjunto imagem
tem tantos elementos quanto
(quando
é injetora). Vou tornar isso claro no próximo passo.
Passo 3
Razão por cardinalidade (argumento formal):
- O conjunto
tem elementos e tem elementos. - Para qualquer função
vale , logo
- Se
fosse injetora, então a aplicação seria bijetora (injetora por hipótese e sobrejetora por definição de imagem). Uma bijeção entre e implica
- Assim, se
fosse injetora teríamos simultaneamente e , o que é impossível. Em símbolos, isso exige , contradição.
Portanto não pode existir
injetora.
Passo 4
Argumento intuitivo (princípio da casa dos pombos) — versão curta e prática para a prova:
Há elementos em
(quatro “pombos”) e apenas
valores possíveis em
(três “casas”). Se cada pombo fosse colocado em uma casa diferente (o que seria necessário para que
fosse injetora), faltaria casa para um dos pombos. Logo, obrigatoriamente existem dois elementos de
com a mesma imagem em
, o que impede a injetividade.
Há
Passo 5
Conclusão e comentário didático final:
Como mostrado, é impossível construir que seja injetora quando
. Portanto não existe função injetora de
em
. (Para fixar a ideia: o contrário — uma função injetora de
em
— existe; por exemplo, a função
definida por
é injetora mas não sobrejetora.)
Como mostrado, é impossível construir
Resposta
Não existe tal função.