Sejam A=\{a, b, c\} e B=\{x, y, z, w\}. Exiba, se possível:
f: B \rightarrow A injetora mas não sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{a,b,c\},\qquad B=\{x,y,z,w\}.
A tarefa é: exibir, se possível, uma função f: B \to A que seja injetora (uma-para-um) mas não sobrejetora (não atinja todos os elementos de A). Em outras palavras, procurar f tal que:
  • f seja injetora: para quaisquer u,v\in B, u\neq v\Rightarrow f(u)\neq f(v).
  • f não seja sobrejetora: existe algum elemento de A que não é imagem de nenhum elemento de B.

Passo 2

Definições importantes (explicadas passo a passo):
  • Injetora (uma-para-um): \forall u,v\in B,\\ u\neq v \Rightarrow f(u)\neq f(v). Isso significa que elementos distintos do domínio têm imagens distintas.
  • Sobrejetora (sobre): \forall y\in A,\\ \exists x\in B tal que f(x)=y. Ou seja, toda y\in A aparece como imagem de algum x\in B.
Uma consequência imediata da definição de injetora é que os elementos de B são enviados para elementos distintos de A; portanto o conjunto imagem f(B) tem tantos elementos quanto B (quando f é injetora). Vou tornar isso claro no próximo passo.

Passo 3

Razão por cardinalidade (argumento formal):
  • O conjunto A tem |A|=3 elementos e B tem |B|=4 elementos.
  • Para qualquer função f:B\to A vale f(B)\subseteq A, logo
|f(B)|\le |A|=3.
  • Se f fosse injetora, então a aplicação f:B\to f(B) seria bijetora (injetora por hipótese e sobrejetora por definição de imagem). Uma bijeção entre B e f(B) implica
|f(B)|=|B|=4.
  • Assim, se f fosse injetora teríamos simultaneamente |f(B)|=4 e |f(B)|\le 3, o que é impossível. Em símbolos, isso exige 4\le 3, contradição.
Portanto não pode existir f:B\to A injetora.

Passo 4

Argumento intuitivo (princípio da casa dos pombos) — versão curta e prática para a prova:
4 elementos em B (quatro “pombos”) e apenas 3 valores possíveis em A (três “casas”). Se cada pombo fosse colocado em uma casa diferente (o que seria necessário para que f fosse injetora), faltaria casa para um dos pombos. Logo, obrigatoriamente existem dois elementos de B com a mesma imagem em A, o que impede a injetividade.

Passo 5

Conclusão e comentário didático final:
Como mostrado, é impossível construir f: B\to A que seja injetora quando |B|>|A|. Portanto não existe função injetora de B em A. (Para fixar a ideia: o contrário — uma função injetora de A em B — existe; por exemplo, a função g:A\to B definida por g(a)=x,\\ g(b)=y,\\ g\text{(c)}=z é injetora mas não sobrejetora.)

Resposta

Não existe tal função.

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