Sejam A=\{a, b, c\} e B=\{x, y, z, w\}. Exiba, se possível:
f: A \rightarrow B sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{a,b,c\},\qquad B=\{x,y,z,w\},
e pede para exibir, se possível, uma função f\colon A\to B que seja sobrejetora.

Passo 2

Definição (explicada devagar): uma função f\colon A\to B é sobrejetora (ou “sobre”) se, para todo elemento b\in B, existe pelo menos um elemento a\in A tal que f(a)=b. Em expressão:
f\\ \text{é sobrejetora} \iff \forall b\in B\\ \exists a\in A\\ \text{com}\\ f(a)=b.é
Aqui a e b são elementos dos conjuntos dados; a definição diz que a imagem f(A) deve ser igual a B.

Passo 3

Vamos olhar os tamanhos (cardinalidades) dos conjuntos, porque isso costuma dar a resposta rápido:
|A|=3\quad\text{(há três elementos: \(a,b,c\))},áê
|B|=4\quad\text{(há quatro elementos: \(x,y,z,w\))}.á
Uma observação simples e fundamental sobre funções: a imagem f(A) é um subconjunto de B e a quantidade de elementos distintos em f(A) nunca pode exceder a quantidade de elementos em A. Em símbolos:
|f(A)|\le |A|.
Isto acontece porque cada a\in A gera um único f(a); portanto não é possível obter mais valores diferentes em f(A) do que há elementos em A.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
|f(A)|\le |A|=3.
Mas para f ser sobrejetora precisamos de f(A)=B, isto é |f(A)|=|B|=4. Logo seria necessário ter |f(A)|=4, o que contradiz |f(A)|\le 3. Outra maneira equivalente de ver: se cada um dos quatro elementos de B precisa ter pelo menos um antecedente em A, então seriam necessários pelo menos quatro elementos em A, o que não ocorre.

Passo 5

Conclusão: não é possível existir uma função f\colon A\to B que seja sobrejetora, porque o conjunto domínio A tem menos elementos do que o contradomínio B; portanto não há como cobrir os quatro elementos de B com apenas três imagens.

Resposta

Não existe função sobrejetora f\colon A \rightarrow B.

Exercícios relacionados