Sejam
e
. Exiba, se possível:
sobrejetora.
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
e pede para exibir, se possível, uma função
que seja sobrejetora.
Passo 2
Definição (explicada devagar): uma função
é sobrejetora (ou “sobre”) se, para todo elemento
, existe pelo menos um elemento
tal que
. Em expressão:
Aqui
e
são elementos dos conjuntos dados; a definição diz que a imagem
deve ser igual a
.
Passo 3
Vamos olhar os tamanhos (cardinalidades) dos conjuntos, porque isso costuma dar a resposta rápido:
Uma observação simples e fundamental sobre funções: a imagem
é um subconjunto de
e a quantidade de elementos distintos em
nunca pode exceder a quantidade de elementos em
. Em símbolos:
Isto acontece porque cada
gera um único
; portanto não é possível obter mais valores diferentes em
do que há elementos em
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
Mas para
ser sobrejetora precisamos de
, isto é
. Logo seria necessário ter
, o que contradiz
. Outra maneira equivalente de ver: se cada um dos quatro elementos de
precisa ter pelo menos um antecedente em
, então seriam necessários pelo menos quatro elementos em
, o que não ocorre.
Passo 5
Conclusão: não é possível existir uma função
que seja sobrejetora, porque o conjunto domínio
tem menos elementos do que o contradomínio
; portanto não há como cobrir os quatro elementos de
com apenas três imagens.
Resposta
Não existe função sobrejetora
.