Sejam a, b, c, d \in \mathbb{Z} inteiros não nulos. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
  • Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração.
  • Se a afirmação for falsa, forneça um contraexemplo.
    Se c \mid a e c \mid b, então c^{2} \mid a b;

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (peguei todas as informações do enunciado):
  • São dados a,b,c,d\in\mathbb{Z} inteiros não nulos.
  • Supõe-se que c\mid a e c\mid b.
  • A pergunta: a afirmação "então c^{2}\mid ab" é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, apresentar demonstração; se for falsa, dar contraexemplo.

Passo 2

Definição básica que vou usar (explicação didática):
  • Dizemos que x\mid y (lê‑se “x divide y”) quando existe um inteiro t tal que y = x\,t.
  • Aqui isso significa: se c\mid a então existe um inteiro k com a = c\,k; se c\mid b então existe um inteiro l com b = c\,l.
  • Observação: k e l são inteiros porque a definição de divisibilidade exige um quociente inteiro.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso concreto:
  • Da hipótese c\mid a existe k\in\mathbb{Z} tal que
a = c\,k.
  • Da hipótese c\mid b existe l\in\mathbb{Z} tal que
b = c\,l.

Passo 4

Multiplicando a por b e rearranjando (passo algébrico e explicação do raciocínio):
  • Multiplicando as duas expressões obtemos
ab = (c\,k)(c\,l).
  • Agrupando os fatores c temos
ab = c^{2}\,(k\,l).
  • Como k e l são inteiros, o produto k\,l também é um inteiro (fechamento dos inteiros sob multiplicação). Logo existe um inteiro m=k\,l tal que ab = c^{2}\,m.

Passo 5

Conclusão lógica e comentário didático simples:
  • Encontramos um inteiro m tal que ab = c^{2}\,m. Pela definição de divisibilidade, isso significa exatamente c^{2}\mid ab.
  • Portanto a afirmação é verdadeira. É um resultado direto e elementar da definição de divisibilidade.
  • Nota extra (para fixar): o sinal de c não importa — se c for negativo, c^{2} é positivo e a mesma demonstração vale, pois k e l permanecem inteiros.

Passo 6

Exemplos numéricos ilustrativos (para você praticar a intuição):
  • Exemplo 1: c=3, a=6, b=9. Então a=3\cdot2, b=3\cdot3. Logo ab=3^{2}\cdot(2\cdot3)=9\cdot6, e 9\mid54.
  • Exemplo 2 (com sinal): c=-2, a=6, b=-4. Então a=(-2)\cdot(-3), b=(-2)\cdot2. Logo ab=(-2)^{2}\cdot((-3)\cdot2)=4\cdot(-6), e 4\mid -24.

Resposta

Verdadeira.

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