Sejam
inteiros não nulos. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
- Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração.
- Se a afirmação for falsa, forneça um contraexemplo.
Se
e
, então
;
Se
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (peguei todas as informações do enunciado):
- São dados
inteiros não nulos. - Supõe-se que
e . - A pergunta: a afirmação "então
" é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, apresentar demonstração; se for falsa, dar contraexemplo.
Passo 2
Definição básica que vou usar (explicação didática):
- Dizemos que
(lê‑se “x divide y”) quando existe um inteiro tal que . - Aqui isso significa: se
então existe um inteiro com ; se então existe um inteiro com . - Observação:
e são inteiros porque a definição de divisibilidade exige um quociente inteiro.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso concreto:
- Da hipótese
existe tal que
- Da hipótese
existe tal que
Passo 4
Multiplicando
por
e rearranjando (passo algébrico e explicação do raciocínio):
- Multiplicando as duas expressões obtemos
- Agrupando os fatores
temos
- Como
e são inteiros, o produto também é um inteiro (fechamento dos inteiros sob multiplicação). Logo existe um inteiro tal que .
Passo 5
Conclusão lógica e comentário didático simples:
- Encontramos um inteiro
tal que . Pela definição de divisibilidade, isso significa exatamente . - Portanto a afirmação é verdadeira. É um resultado direto e elementar da definição de divisibilidade.
- Nota extra (para fixar): o sinal de
não importa — se for negativo, é positivo e a mesma demonstração vale, pois e permanecem inteiros.
Passo 6
Exemplos numéricos ilustrativos (para você praticar a intuição):
- Exemplo 1:
, , . Então , . Logo , e . - Exemplo 2 (com sinal):
, , . Então , . Logo , e .
Resposta
Verdadeira.