Seja G um grupo. Provar que as seguintes afirmações são equivalentes:
i) G é abeliano.
ii) (a b)^{2}=a^{2} b^{2}, \forall a, b \in G.
iii) (a b)^{-1}=a^{-1} b^{-1}, \forall a, b \in G.
iv) (a b)^{n}=a^{n} b^{n}, \forall n \in \mathbb{Z}, \forall a, b \in G.
v) (a b)^{n}=a^{n} b^{n}, para três inteiros n consecutivos, \forall a, b \in G.
Passo 1
O enunciado pede para provar que as cinco afirmações abaixo são equivalentes (isto é, todas verdadeiras ou todas falsas ao mesmo tempo):
(i) G é abeliano (ou seja, a b=b a para todos a,b\in G).
(ii) (a b)^{2}=a^{2} b^{2}, para todos a,b\in G.
(iii) (a b)^{-1}=a^{-1} b^{-1}, para todos a,b\in G.
(iv) (a b)^{n}=a^{n} b^{n}, para todo n\in\mathbb{Z} e para todos a,b\in G.
(v) Existem três inteiros consecutivos n tais que (a b)^{n}=a^{n} b^{n} para todos a,b\in G.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado (que vou usar): G é um grupo (tem operação, elemento identidade e, inversos x^{-1}, e as potências inteiras x^{n} estão definidas da maneira usual: x^{0}=e, x^{n}=x\cdot x\cdots x (n vezes) para n>0, e x^{n}=(x^{-1})^{-n} para n<0). A meta é mostrar que cada afirmativa implica as outras (ou, de forma prática, mostrar cadeias de implicações suficientes para cobrir todas).
Passo 2
Lembrete breve de propriedades de grupos que vou usar (e explico cada coisa devagarinho):
Definição de abeliano: G é abeliano quando, para todos a,b\in G, tem-se a b=b a.
Inverso de um produto: em qualquer grupo, vale sempre a fórmula (x y)^{-1}=y^{-1} x^{-1}. Isso é um fato básico: multiplicando x y por y^{-1} x^{-1} obtém-se e porque (x y)(y^{-1} x^{-1})=x (y y^{-1}) x^{-1}=x e x^{-1}=e.
Potências inteiras: para n\in\mathbb{Z} e x\in G, x^{n} está bem definido como disse acima; em particular x^{-n}=(x^{n})^{-1}.
Vou usar esses fatos explicitamente quando necessário, sempre explicando cada passo.
Passo 3
Mostro que (i) implica (ii), (iii) e (iv) — ou seja, se G é abeliano então as outras propriedades são verdadeiras.
Prova de (i) \Rightarrow (ii): suponha G abeliano. Então para quaisquer a,b\in G temos a b=b a. Calculamos
(ab)^{2}= (ab)(ab)=a b a b.
Como a comuta com b, posso trocar o segundo b com o segundo a e reagrupar:
a b a b = a a b b = a^{2} b^{2}.
Logo (ab)^{2}=a^{2}b^{2}.
Prova de (i) \Rightarrow (iii): suponha G abeliano. Em qualquer grupo sempre vale (ab)^{-1}=b^{-1} a^{-1}. Mas se a e b comutam então também a^{-1} e b^{-1} comutam (porque a b=b a implica, multiplicando à esquerda por a^{-1} e à direita por b^{-1}, que b^{-1} a^{-1}=a^{-1} b^{-1}). Assim b^{-1} a^{-1}=a^{-1} b^{-1}, então
(ab)^{-1}=b^{-1} a^{-1}=a^{-1} b^{-1},
o que prova (iii).
Prova de (i) \Rightarrow (iv): suponha G abeliano. Provo por indução em n\ge 0 que (ab)^{n}=a^{n} b^{n} (para n=0 é óbvio: ambos são e). Se (ab)^{n}=a^{n} b^{n} então
(ab)^{n+1}=(ab)^{n}(ab)=a^{n} b^{n} a b.
Como a comuta com b posso reorganizar os fatores para agrupar as a's e as b's:
a^{n} b^{n} a b = a^{n} a b^{n} b = a^{n+1} b^{n+1}.
Portanto vale para n+1. Para n<0 usamos que (ab)^{n} = \big((ab)^{-n}\big)^{-1} e como a propriedade já vale para -n>0 e inversos preservam a igualdade, obtemos a validade para todos n\in\mathbb{Z}. Logo (iv) é verdadeira.
Passo 4
Mostro que (iv) implica (iii) e (ii) — coisas simples e diretas.
Prova de (iv) \Rightarrow (iii): basta tomar n=-1 em (iv). Para n=-1 a igualdade dada em (iv) é exatamente (ab)^{-1}=a^{-1} b^{-1}. Portanto (iv) implica (iii).
Prova de (iv) \Rightarrow (ii): tomar n=2 em (iv) dá (ab)^{2}=a^{2} b^{2}. Assim (ii) também segue de (iv).
Passo 5
Agora mostro que (iii) implica (i). Esta implicação é direta e bonita: a fórmula geral em qualquer grupo é (ab)^{-1}=b^{-1} a^{-1}. A hipótese (iii) diz que para todos a,b temos (ab)^{-1}=a^{-1} b^{-1}. Comparando as duas fórmulas, para todo a,b vale
b^{-1} a^{-1} = (ab)^{-1} = a^{-1} b^{-1}.
Multiplicando à esquerda por b e à direita por a (ou alternativamente tomando inverso de ambos os lados), obtemos
a b = b a.
Detalhando: multiplicando a igualdade b^{-1} a^{-1} = a^{-1} b^{-1} à esquerda por b e à direita por a, tem-se (b)(b^{-1} a^{-1})(a) = (b)(a^{-1} b^{-1})(a), isto é a^{-1} = b a^{-1} b^{-1} a. Mas a forma mais limpa é tomar inverso de ambos os lados; como os inversos trocam a ordem, invertendo b^{-1} a^{-1} = a^{-1} b^{-1} obtemos a b = b a. Assim G é abeliano. Portanto (iii) \Rightarrow (i).
Passo 6
Mostro que (ii) implica (i). Esta é uma prova clássica curinga: a hipótese diz (a b)^{2}=a^{2} b^{2} para todos a,b. Escrevemos a igualdade explícita e simplificamos por inversos:
A hipótese é
a b a b = a^{2} b^{2}.
Multiplico à esquerda por a^{-1} e à direita por b^{-1}. Justifico: multiplicar uma igualdade por elementos do grupo preserva a igualdade. Fazendo isso,
a^{-1}(a b a b) b^{-1} = a^{-1} (a^{2} b^{2}) b^{-1}.
No lado esquerdo a^{-1} a b a b b^{-1} = b a (porque a^{-1} a = e e b b^{-1} = e), e no lado direito a^{-1} a^{2} b^{2} b^{-1} = a b. Assim obtém-se
b a = a b.
Como a,b eram arbitrários, G é abeliano. Então (ii) \Rightarrow (i).
Passo 7
Mostro que (v) implica (i). Aqui a hipótese é que existe um inteiro n tal que a igualdade (ab)^{n}=a^{n} b^{n} vale para três valores consecutivos de n; em termos claros, suponha que as igualdades valem para n-1,n,n+1 (para todos a,b). A partir daí mostro que a e b comutam.
Agora uso duas relações úteis: dividir (no sentido de multiplicar por inversos) a igualdade para n pela igualdade para n-1 e também dividir a igualdade para n+1 pela igualdade para n. Primeiro, usando (ab)^{n}(ab)^{-(n-1)}=ab e substituindo as expressões fornecidas:
ab = (ab)^{n} (ab)^{-(n-1)} = a^{n} b^{n} (a^{n-1} b^{n-1})^{-1}.
Mas (a^{n-1} b^{n-1})^{-1}=b^{-(n-1)} a^{-(n-1)} pelo fato geral de inversos. Assim
ab = a^{n} b^{n} b^{-(n-1)} a^{-(n-1)} = a^{n} b a^{-(n-1)}.
Portanto obtemos a igualdade
ab = a^{n} b a^{-(n-1)}. \tag{1}
Do outro lado, usando as igualdades para n+1 e n:
ab = (ab)^{n+1} (ab)^{-n} = a^{n+1} b^{n+1} (a^{n} b^{n})^{-1} = a^{n+1} b a^{-n}.
Assim
ab = a^{n+1} b a^{-n}. \tag{2}
Agora igualo as duas expressões da esquerda das igualdades (1) e (2): as duas dão o mesmo elemento ab, então suas partes direitas são iguais:
a^{n} b a^{-(n-1)} = a^{n+1} b a^{-n}.
Multiplico à esquerda por a^{-n} e à direita por a^{n-1}. Isso é permitido e simplifica muito:
a^{-n} (a^{n} b a^{-(n-1)}) a^{n-1} = a^{-n} (a^{n+1} b a^{-n}) a^{n-1}.
No lado esquerdo isso simplifica para b. No lado direito: a^{-n} a^{n+1} b a^{-n} a^{n-1} = a b a^{-1}. Logo
b = a b a^{-1}.
Multiplicando à direita por a obtemos b a = a b. Como a,b eram arbitrários, G é abeliano. Portanto (v) \Rightarrow (i).
Passo 8
Mostro que (i) implica (v) (para fechar a equivalência envolvendo (v)). Isso é imediato: se G é abeliano então já provamos em (i) \Rightarrow (iv) que (ab)^{n}=a^{n} b^{n} para todo n\in\mathbb{Z}. Assim a igualdade vale certamente para três inteiros consecutivos quaisquer. Portanto (i) \Rightarrow (v).
Passo 9
Recapitulação das implicações já estabelecidas, para deixar claro que todas as cinco são equivalentes:
(i) \Rightarrow (ii), (iii), (iv), (v).
(iv) \Rightarrow (ii) e (iv) \Rightarrow (iii) (casos particulares n=2 e n=-1).
(ii) \Rightarrow (i).
(iii) \Rightarrow (i).
(v) \Rightarrow (i).
Com isso temos (i) \Leftrightarrow (ii) \Leftrightarrow (iii) \Leftrightarrow (iv) \Leftrightarrow (v): cada afirmação implica as outras.