Sejam
inteiros não nulos. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
- Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração.
- Se a afirmação for falsa, forneça um contraexemplo.
Se
e
, então
;
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Sejam
inteiros não nulos (observe que a afirmação só envolve ; aparece apenas na hipótese geral). - Sabe-se que
e .
O que se pede:
- Verificar se a afirmação "se
e , então " é verdadeira ou falsa. - Se for verdadeira, apresentar uma demonstração; se for falsa, fornecer um contraexemplo.
Passo 2
Definição útil (explicando passo a passo): a notação
significa que
é múltiplo de
, isto é, existe um inteiro
tal que
. Em palavras: dizer
é a mesma coisa que dizer “x pode ser escrito como
vezes algum inteiro”.
Essa definição é a base para transformar a hipótese
e
em igualdades que podemos manipular algebricamente.
Passo 3
Aplicando a definição às hipóteses:
- Da hipótese
segue que existe um inteiro tal que
- Da hipótese
segue que existe um inteiro tal que
Aqui
e
são inteiros porque
são inteiros.
Passo 4
Agora calculamos
substituindo
e
pelas expressões acima:
Elevando os produtos ao quadrado:
Colocando
em evidência:
Passo 5
Observe que
pode ser escrito como
com
Como
são inteiros, o produto
é um inteiro. Portanto existe um inteiro
tal que
Pela definição de divisibilidade, isso significa exatamente
. Assim a propriedade desejada é demonstrada (a demonstração não usa
em momento algum).
Passo 6
Um exemplo numérico para fixar a ideia: tome
,
,
. Então
e
. Calculando
, e de fato
, logo
. Isso ilustra o que foi provado de forma geral.
Resposta
Verdadeira.