Sejam a, b, c, d \in \mathbb{Z} inteiros não nulos. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
  • Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração.
  • Se a afirmação for falsa, forneça um contraexemplo.
    Se a \mid b e a \mid c, então a \mid b^{2}+c^{2};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Sejam a,b,c,d \in \mathbb{Z} inteiros não nulos (observe que a afirmação só envolve a,b,c; d aparece apenas na hipótese geral).
  • Sabe-se que a \mid b e a \mid c.
O que se pede:
  • Verificar se a afirmação "se a \mid b e a \mid c, então a \mid b^{2}+c^{2}" é verdadeira ou falsa.
  • Se for verdadeira, apresentar uma demonstração; se for falsa, fornecer um contraexemplo.

Passo 2

Definição útil (explicando passo a passo): a notação a\mid x significa que x é múltiplo de a, isto é, existe um inteiro k tal que x = a k. Em palavras: dizer a\mid x é a mesma coisa que dizer “x pode ser escrito como a vezes algum inteiro”.
Essa definição é a base para transformar a hipótese a\mid b e a\mid c em igualdades que podemos manipular algebricamente.

Passo 3

Aplicando a definição às hipóteses:
  • Da hipótese a\mid b segue que existe um inteiro k tal que
b = a k.
  • Da hipótese a\mid c segue que existe um inteiro l tal que
c = a l.
Aqui k e l são inteiros porque a,b,c são inteiros.

Passo 4

Agora calculamos b^{2}+c^{2} substituindo b e c pelas expressões acima:
b^{2}+c^{2} = (a k)^{2} + (a l)^{2}.
Elevando os produtos ao quadrado:
(a k)^{2} + (a l)^{2} = a^{2}k^{2} + a^{2}l^{2}.
Colocando a^{2} em evidência:
a^{2}k^{2} + a^{2}l^{2} = a^{2}\bigl(k^{2}+l^{2}\bigr).

Passo 5

Observe que a^{2}\bigl(k^{2}+l^{2}\bigr) pode ser escrito como a\cdot m com
m = a\bigl(k^{2}+l^{2}\bigr).
Como a,\\ k,\\ l são inteiros, o produto m=a(k^{2}+l^{2}) é um inteiro. Portanto existe um inteiro m tal que
b^{2}+c^{2} = a\cdot m.
Pela definição de divisibilidade, isso significa exatamente a \mid b^{2}+c^{2}. Assim a propriedade desejada é demonstrada (a demonstração não usa d em momento algum).

Passo 6

Um exemplo numérico para fixar a ideia: tome a=3, b=6, c=9. Então 3\mid6 e 3\mid9. Calculando b^{2}+c^{2}=6^{2}+9^{2}=36+81=117, e de fato 117=3\cdot39, logo 3\mid117. Isso ilustra o que foi provado de forma geral.

Resposta

Verdadeira.

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