Sejam a, b, c elementos de um grupo ( G, * ) com elemento neutro e. Determine as soluções x \in G das seguintes equações:
(c) c * x * a * c=b

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são elementos de um grupo (G,*) cujo elemento neutro é e. Pede para determinar todas as soluções x\in G da equação
c * x * a * c = b.
Informações relevantes fornecidas:
a\in G,\quad b\in G,\quad c\in G,\quad e\\ \text{é o elemento neutro de }G.é
Em todo grupo cada elemento tem inverso (denotado por a^{-1}, c^{-1}, etc.) e a operação é associativa. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): para isolar x vamos usar inversos e a propriedade de cancelamento do grupo. Podemos multiplicar a equação à esquerda ou à direita por inversos porque para todo g\in G existe g^{-1} tal que g^{-1} * g = g * g^{-1} = e. Também usaremos associatividade para recolocar parênteses sem alterar o resultado. Vou aplicar essas operações passo a passo, explicando cada simplificação.

Passo 3

Multiplico a equação pela esquerda por c^{-1}. Isso é permitido porque c^{-1} existe e multiplicar ambos os lados por um mesmo elemento preserva a igualdade no grupo. Escrevo:
c^{-1} * (c * x * a * c) = c^{-1} * b.
Pela associatividade e porque c^{-1} * c = e, o lado esquerdo simplifica:
(c^{-1} * c) * x * a * c = e * x * a * c = x * a * c.
Logo obtemos
x * a * c = c^{-1} * b.

Passo 4

Agora quero eliminar o último fator c do lado esquerdo. Multiplico ambos os lados pela direita por c^{-1}:
(x * a * c) * c^{-1} = (c^{-1} * b) * c^{-1}.
Usando associatividade no lado esquerdo tenho
x * a * (c * c^{-1}) = (c^{-1} * b) * c^{-1}.
Como c * c^{-1} = e e x * a * e = x * a, segue que
x * a = c^{-1} * b * c^{-1}.

Passo 5

Falta agora remover o fator a à direita de x. Multiplico ambos os lados pela direita por a^{-1}:
(x * a) * a^{-1} = (c^{-1} * b * c^{-1}) * a^{-1}.
Pela associatividade e porque a * a^{-1} = e temos
x * (a * a^{-1}) = x * e = x.
Portanto
x = c^{-1} * b * c^{-1} * a^{-1}.

Passo 6

Comentário sobre ordem: note que não permutamos fatores — a ordem aqui é importante porque o grupo pode ser não comutativo. Não se pode, em geral, trocar b e c^{-1} ou a^{-1}.

Passo 7

Verificação rápida por substituição para ficar mais seguro: substituo x = c^{-1} * b * c^{-1} * a^{-1} na equação original e simplifico passo a passo.
\begin{aligned} c * x * a * c &= c * (c^{-1} * b * c^{-1} * a^{-1}) * a * c \\\ &= (c * c^{-1}) * b * c^{-1} * (a^{-1} * a) * c \quad\text{(associatividade)}\\\ &= e * b * c^{-1} * e * c \\\ &= b * (c^{-1} * c) \\\ &= b * e = b. \end{aligned}
Ou seja, a expressão encontrada realmente satisfaz a equação.

Resposta

x = c^{-1} * b * c^{-1} * a^{-1}

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