Sejam
elementos de um grupo (
) com elemento neutro
. Determine as soluções
das seguintes equações:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá que
são elementos de um grupo
cujo elemento neutro é
. Pede para determinar todas as soluções
da equação
Informações relevantes fornecidas:
Em todo grupo cada elemento tem inverso (denotado por
,
, etc.) e a operação é associativa. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): para isolar
vamos usar inversos e a propriedade de cancelamento do grupo. Podemos multiplicar a equação à esquerda ou à direita por inversos porque para todo
existe
tal que
. Também usaremos associatividade para recolocar parênteses sem alterar o resultado. Vou aplicar essas operações passo a passo, explicando cada simplificação.
Passo 3
Multiplico a equação pela esquerda por
. Isso é permitido porque
existe e multiplicar ambos os lados por um mesmo elemento preserva a igualdade no grupo. Escrevo:
Pela associatividade e porque
, o lado esquerdo simplifica:
Logo obtemos
Passo 4
Agora quero eliminar o último fator
do lado esquerdo. Multiplico ambos os lados pela direita por
:
Usando associatividade no lado esquerdo tenho
Como
e
, segue que
Passo 5
Falta agora remover o fator
à direita de
. Multiplico ambos os lados pela direita por
:
Pela associatividade e porque
temos
Portanto
Passo 6
Comentário sobre ordem: note que não permutamos fatores — a ordem aqui é importante porque o grupo pode ser não comutativo. Não se pode, em geral, trocar
e
ou
.
Passo 7
Verificação rápida por substituição para ficar mais seguro: substituo
na equação original e simplifico passo a passo.
Ou seja, a expressão encontrada realmente satisfaz a equação.