Sejam a, b, c elementos de um grupo ( G, * ) com elemento neutro e. Determine as soluções x \in G das seguintes equações:
(b) b * x * b^{-1}=b

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os x\in G que satisfazem a equação
b * x * b^{-1} = b.
Informações dadas e relevantes: a,b,c são elementos de um grupo (G,*) com elemento neutro e. Em particular, b tem inverso denotado por b^{-1} e a operação * é associativa. A tarefa é achar todos os x em G que fazem a igualdade acima valer.

Passo 2

Vou lembrar rapidinho (tipo conversa entre a gente) o que podemos usar sem medo:
  • Associatividade: para quaisquer u,v,w\in G vale (u*v)*w = u*(v*w). Isso permite reagrupar produtos sem mudar o resultado.
  • Elemento neutro e: para qualquer u\in G, e*u = u*e = u.
  • Inverso: para qualquer u\in G existe u^{-1}\in G tal que u*u^{-1} = u^{-1}*u = e.
  • Logo, podemos multiplicar ambos os lados de uma igualdade por um mesmo elemento (à esquerda ou à direita) e a igualdade continua verdadeira — desde que respeitemos a ordem (grupo pode não ser comutativo).
Esses são os ingredientes que vamos usar passo a passo.

Passo 3

Multiplico a equação original à esquerda por b^{-1}. Isso é permitido porque multiplicar ambos os lados por um mesmo elemento preserva a igualdade. Fazendo isso:
b^{-1} * (b * x * b^{-1}) = b^{-1} * b.
Agora uso associatividade para reescrever o lado esquerdo juntando b^{-1}*b:
(b^{-1} * b) * x * b^{-1} = b^{-1} * b.

Passo 4

Como b^{-1} * b = e, o passo anterior fica
e * x * b^{-1} = e.
Usando e*u = u para qualquer u, isso simplifica para
x * b^{-1} = e.

Passo 5

Agora multiplico a igualdade x * b^{-1} = e à direita por b. Novamente isso é permitido e preserva a igualdade:
(x * b^{-1}) * b = e * b.
Usando associatividade no lado esquerdo e b^{-1} * b = e no meio, temos
x * (b^{-1} * b) = b.
Como b^{-1} * b = e e x * e = x, obtemos
x = b.

Passo 6

Concluímos que a única solução possível é x=b. Isso também faz sentido intuitivo: a equação é uma espécie de “conjugação” de x por b igualando-se a b; ao “desconjugar” pela esquerda com b^{-1} e pela direita com b chegamos diretamente em x=b. Em grupos todo passo que fizemos é reversível, então não perdemos soluções no processo — a solução é única.

Resposta

x = b

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