Sejam
elementos de um grupo (
) com elemento neutro
. Determine as soluções
das seguintes equações:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os
que satisfazem a equação
Informações dadas e relevantes:
são elementos de um grupo
com elemento neutro
. Em particular,
tem inverso denotado por
e a operação
é associativa. A tarefa é achar todos os
em
que fazem a igualdade acima valer.
Passo 2
Vou lembrar rapidinho (tipo conversa entre a gente) o que podemos usar sem medo:
- Associatividade: para quaisquer
vale . Isso permite reagrupar produtos sem mudar o resultado. - Elemento neutro
: para qualquer , . - Inverso: para qualquer
existe tal que . - Logo, podemos multiplicar ambos os lados de uma igualdade por um mesmo elemento (à esquerda ou à direita) e a igualdade continua verdadeira — desde que respeitemos a ordem (grupo pode não ser comutativo).
Esses são os ingredientes que vamos usar passo a passo.
Passo 3
Multiplico a equação original à esquerda por
. Isso é permitido porque multiplicar ambos os lados por um mesmo elemento preserva a igualdade. Fazendo isso:
Agora uso associatividade para reescrever o lado esquerdo juntando
:
Passo 4
Como
, o passo anterior fica
Usando
para qualquer
, isso simplifica para
Passo 5
Agora multiplico a igualdade
à direita por
. Novamente isso é permitido e preserva a igualdade:
Usando associatividade no lado esquerdo e
no meio, temos
Como
e
, obtemos
Passo 6
Concluímos que a única solução possível é
. Isso também faz sentido intuitivo: a equação é uma espécie de “conjugação” de
por
igualando-se a
; ao “desconjugar” pela esquerda com
e pela direita com
chegamos diretamente em
. Em grupos todo passo que fizemos é reversível, então não perdemos soluções no processo — a solução é única.