Sejam
, não nulos. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e .
O que se pede: - Provar que
.
Observação imediata (importante antes de começar): a notação
representa sempre o maior divisor comum positivo. Se
puder ser negativo, a fórmula correta envolve o valor absoluto de
. Vou provar a forma geral com
; a igualdade com
vale quando
.
Passo 2
Definições e propriedades que vou usar (explicadas de modo direto, sem pular etapas):
- Definição de
: é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente e . - Propriedade de divisibilidade linear: se um inteiro
divide e , então divide qualquer combinação linear inteira com . Isto é óbvio porque então . - Identidade de Bézout: para
existe uma combinação inteira que gera o . Em símbolos, se então existem tais que
Essa identidade é central e usarei ela explicitamente (não é preciso demonstrá-la aqui, mas é um teorema clássico).
Passo 3
Começo a prova usando as ideias acima. Seja
logo, por Bézout, existem
tais que
Multiplicando essa igualdade por
obtemos
Passo 4
Mostro agora que
é um divisor comum de
e
.
- Como
divide , existe com . Então , portanto divide . - De modo análogo,
divide .
Portantoé um divisor comum de e .
Passo 5
Agora mostro que
é o maior desses divisores, ou seja, que qualquer divisor comum de
e
divide
.
Seja um divisor comum de
e
. Então, por propriedade de divisibilidade linear,
divide qualquer combinação inteira de
e
. Em particular, pela igualdade do Passo 3,
Seja
logo
divide
. Assim todo divisor comum
de
e
divide
. Isso prova que
é o maior divisor comum positivo: é comum e é múltiplo de qualquer outro comum.
Portanto
Passo 6
Resta relacionar
com
. Como
só depende dos valores absolutos dos argumentos (divisores são os mesmos mudando sinal), tem-se
Combinando com o resultado do Passo 5 obtemos a fórmula desejada na forma correta e geral:
Comentário final e exemplo rápido: por exemplo, tomando
temos
e
. A fórmula dá
. Percebe que em meu exemplo obtive
ao calcular
? Isso mostra que escolhi mal os números ao inventar o exemplo — vou corrigir: de fato
. Então tudo bate:
.
Resposta
Se
, essa igualdade pode ser escrita como
.