Sejam a, b, c \in \mathbb{Z}, não nulos. Prove que:
\operatorname{mdc}(c a, c b)=c \cdot \operatorname{mdc}(a, b).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a,b,c\in\mathbb{Z} e c\neq 0.
    O que se pede:
  • Provar que \operatorname{mdc}(c a, c b)=c\cdot \operatorname{mdc}(a, b).
Observação imediata (importante antes de começar): a notação \operatorname{mdc}(\cdot,\cdot) representa sempre o maior divisor comum positivo. Se c puder ser negativo, a fórmula correta envolve o valor absoluto de c. Vou provar a forma geral com |c|; a igualdade com c vale quando c>0.

Passo 2

Definições e propriedades que vou usar (explicadas de modo direto, sem pular etapas):
  • Definição de \operatorname{mdc}: \operatorname{mdc}(x,y) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente x e y.
  • Propriedade de divisibilidade linear: se um inteiro d divide x e y, então d divide qualquer combinação linear inteira r x + s y com r,s\in\mathbb{Z}. Isto é óbvio porque x=d x', y=d y' então r x + s y = d(r x' + s y').
  • Identidade de Bézout: para a,b\in\mathbb{Z} existe uma combinação inteira que gera o \operatorname{mdc}(a,b). Em símbolos, se g=\operatorname{mdc}(a,b) então existem u,v\in\mathbb{Z} tais que
g = a u + b v.
Essa identidade é central e usarei ela explicitamente (não é preciso demonstrá-la aqui, mas é um teorema clássico).

Passo 3

Começo a prova usando as ideias acima. Seja
g = \operatorname{mdc}(a,b),
logo, por Bézout, existem u,v\in\mathbb{Z} tais que
g = a u + b v.
Multiplicando essa igualdade por |c| obtemos
|c|\,g = |c|a\;u + |c|b\;v.

Passo 4

Mostro agora que |c|g é um divisor comum de |c|a e |c|b.
  • Como g divide a, existe a'\in\mathbb{Z} com a=g a'. Então |c|a = |c| g a', portanto |c|g divide |c|a.
  • De modo análogo, |c|g divide |c|b.
    Portanto |c|g é um divisor comum de |c|a e |c|b.

Passo 5

Agora mostro que |c|g é o maior desses divisores, ou seja, que qualquer divisor comum de |c|a e |c|b divide |c|g.
Seja d um divisor comum de |c|a e |c|b. Então, por propriedade de divisibilidade linear, d divide qualquer combinação inteira de |c|a e |c|b. Em particular, pela igualdade do Passo 3,
|c|g = |c|a\;u + |c|b\;v,
logo d divide |c|g. Assim todo divisor comum d de |c|a e |c|b divide |c|g. Isso prova que |c|g é o maior divisor comum positivo: é comum e é múltiplo de qualquer outro comum.
Portanto
\operatorname{mdc}(|c|a,|c|b)=|c|\,\operatorname{mdc}(a,b).

Passo 6

Resta relacionar \operatorname{mdc}(|c|a,|c|b) com \operatorname{mdc}(ca,cb). Como \operatorname{mdc} só depende dos valores absolutos dos argumentos (divisores são os mesmos mudando sinal), tem-se
\operatorname{mdc}(ca,cb)=\operatorname{mdc}(|c|a,|c|b).
Combinando com o resultado do Passo 5 obtemos a fórmula desejada na forma correta e geral:
\operatorname{mdc}(ca,cb)=|c|\,\operatorname{mdc}(a,b).
Comentário final e exemplo rápido: por exemplo, tomando a=6,b=15,c=-2 temos \operatorname{mdc}(6,15)=3 e \operatorname{mdc}(-12,-30)=12. A fórmula dá |-2|\cdot 3=2\cdot 3=6. Percebe que em meu exemplo obtive 12 ao calcular \operatorname{mdc}(-12,-30)? Isso mostra que escolhi mal os números ao inventar o exemplo — vou corrigir: de fato \operatorname{mdc}(-12,-30)=6. Então tudo bate: |-2|\cdot 3=6.

Resposta

\operatorname{mdc}(ca,cb)=|c|\operatorname{mdc}(a,b)
Se c>0, essa igualdade pode ser escrita como \operatorname{mdc}(ca,cb)=c\operatorname{mdc}(a,b).

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