Se p é um primo e \operatorname{mdc}(a, b)=p, quais são os possíveis valores de \operatorname{mdc}\left(a^{2}, b\right) ? E de \operatorname{mdc}\left(a^{2}, b^{2}\right) ?

Passo 1

O enunciado dá que p é um número primo e que
\operatorname{mdc}(a,b)=p.
As perguntas são duas:
  • Quais são os possíveis valores de \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b\right)?
  • Qual é o valor de \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b^{2}\right)?
Informações relevantes fornecidas:
  • p divide a e b porque \operatorname{mdc}(a,b)=p.
  • Como \operatorname{mdc}(a,b)=p é primo, a e b não têm nenhum outro divisor comum além de 1 e p.

Passo 2

Vamos introduzir uma ferramenta simples e muito útil: para um primo p e um inteiro n\neq 0, escrevemos v_{p}(n) para o expoente de p na fatoração prima de n. Ou seja, v_{p}(n) é o maior inteiro k tal que p^{k} divide n.
Explicando com calma:
  • Se p não divide n, então v_{p}(n)=0.
  • Se p divide n exatamente uma vez (ou seja, p\mid n mas p^{2}\nmid n), então v_{p}(n)=1.
  • Se p^{3}\mid n mas p^{4}\nmid n, então v_{p}(n)=3, e assim por diante.
Uma propriedade importante e fácil de usar é que, para dois inteiros x,y,
\operatorname{mdc}(x,y)=\prod_{q\\ \text{primo}} q^{\min\{v_{q}(x),\,v_{q}(y)\}}.
Isto diz: o expoente de cada primo q no \operatorname{mdc} é o mínimo dos expoentes de q em x e em y.

Passo 3

Apliquemos isso ao nosso caso \operatorname{mdc}(a,b)=p. Pela fórmula acima, para cada primo q temos contribuição q^{\min\{v_{q}(a),v_{q}(b)\}} ao \operatorname{mdc}. Como o \operatorname{mdc} é exatamente p, isso implica:
  • Para q=p: \min\{v_{p}(a),v_{p}(b)\}=1. Ou seja, v_{p}(a)\ge 1, v_{p}(b)\ge1 e o menor dos dois é exatamente 1. Em palavras: pelo menos um dos números a,b tem um único fator p (expoente 1); o outro pode ter expoente 1 ou maior.
  • Para todo primo q\neq p: \min\{v_{q}(a),v_{q}(b)\}=0. Ou seja, para cada primo diferente de p, pelo menos um entre a e b não é divisível por esse primo — eles não compartilham nenhum outro primo comum.

Passo 4

Calculemos \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b\right) usando as valorações em p e em primos distintos de p.
  • Para q\neq p: como acima \min\{v_{q}(a),v_{q}(b)\}=0, temos v_{q}(a^{2})=2v_{q}(a) e v_{q}(b)=v_{q}(b), mas pelo mínimo um dos dois é zero, logo \min\{v_{q}(a^{2}),v_{q}(b)\}=0. Portanto nenhum primo q\neq p contribui para o \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b\right).
  • Para q=p: temos v_{p}(a^{2})=2v_{p}(a) e v_{p}(b)=v_{p}(b). Assim o expoente de p em \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b\right) é
\min\{\,2v_{p}(a),\;v_{p}(b)\,\}.
Lembrando que \min\{v_{p}(a),v_{p}(b)\}=1, há duas possibilidades (porque pelo menos um deles é 1):
  • Caso A: v_{p}(a)=1 e v_{p}(b)=1. Então \min\{2\cdot1,\,1\}=\min\{2,1\}=1. Logo \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b\right)=p^{1}=p.
  • Caso B: v_{p}(a)=1 e v_{p}(b)\ge 2. Então \min\{2\cdot1,\,v_{p}(b)\}=\min\{2,\,\ge 2\}=2. Logo \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b\right)=p^{2}.
  • Caso C: v_{p}(b)=1 e v_{p}(a)\ge 2. Então \min\{2v_{p}(a)\\ (\ge 4),\,1\}=1. Logo \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b\right)=p.
Não existe a possibilidade de ambos v_{p}(a) e v_{p}(b) serem \ge 2, porque então \min\{v_{p}(a),v_{p}(b)\}\ge2 e isso contradiz \operatorname{mdc}(a,b)=p.
Portanto os únicos valores possíveis para \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b\right) são p ou p^{2}.

Passo 5

Agora calculemos \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b^{2}\right).
  • Para q\neq p: como antes, para cada primo distinto de p pelo menos um dos números a,b não é divisível por q, então v_{q}(a^{2})=2v_{q}(a) e v_{q}(b^{2})=2v_{q}(b) têm mínimo 0. Assim esses primos não contribuem.
  • Para q=p: o expoente de p em \operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b^{2}\right) é
\min\{\,2v_{p}(a),\;2v_{p}(b)\,\}=2\min\{v_{p}(a),v_{p}(b)\}.
Mas já sabemos que \min\{v_{p}(a),v_{p}(b)\}=1. Portanto o expoente é 2\cdot 1=2. Logo
\operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b^{2}\right)=p^{2}.
Isto vale para todos os casos compatíveis com \operatorname{mdc}(a,b)=p; não há dependência adicional.

Passo 6

Exemplos numéricos para fixar a intuição (escolhendo p=2 só para ilustrar):
  • Tomar a=2, b=6. Aqui \operatorname{mdc}(2,6)=2. Temos a^{2}=4 e \operatorname{mdc}(4,6)=2, ou seja p.
  • Tomar a=2, b=4. Aqui \operatorname{mdc}(2,4)=2. Temos a^{2}=4 e \operatorname{mdc}(4,4)=4, ou seja p^{2}.
  • Em ambos os exemplos \operatorname{mdc}(a^{2},b^{2})=4=p^{2}.

Resposta

\operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b\right)\in\{p,\;p^{2}\}
\operatorname{mdc}\!\left(a^{2},b^{2}\right)=p^{2}

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