Se
é um primo e
, quais são os possíveis valores de
? E de
Passo 1
O enunciado dá que
é um número primo e que
As perguntas são duas:
- Quais são os possíveis valores de
? - Qual é o valor de
?
Informações relevantes fornecidas:
-
divide e porque . - Como
é primo, e não têm nenhum outro divisor comum além de e .
Passo 2
Vamos introduzir uma ferramenta simples e muito útil: para um primo
e um inteiro
, escrevemos
para o expoente de
na fatoração prima de
. Ou seja,
é o maior inteiro
tal que
divide
.
Explicando com calma:
- Se
não divide , então . - Se
divide exatamente uma vez (ou seja, mas ), então . - Se
mas , então , e assim por diante.
Uma propriedade importante e fácil de usar é que, para dois inteiros
,
Isto diz: o expoente de cada primo
no
é o mínimo dos expoentes de
em
e em
.
Passo 3
Apliquemos isso ao nosso caso
. Pela fórmula acima, para cada primo
temos contribuição
ao
. Como o
é exatamente
, isso implica:
- Para
: . Ou seja, , e o menor dos dois é exatamente . Em palavras: pelo menos um dos números tem um único fator (expoente ); o outro pode ter expoente ou maior. - Para todo primo
: . Ou seja, para cada primo diferente de , pelo menos um entre e não é divisível por esse primo — eles não compartilham nenhum outro primo comum.
Passo 4
Calculemos
usando as valorações em
e em primos distintos de
.
- Para
: como acima , temos e , mas pelo mínimo um dos dois é zero, logo . Portanto nenhum primo contribui para o . - Para
: temos e . Assim o expoente de em é
Lembrando que
, há duas possibilidades (porque pelo menos um deles é
):
- Caso A:
e . Então . Logo . - Caso B:
e . Então . Logo . - Caso C:
e . Então . Logo .
Não existe a possibilidade de ambos
e
serem
, porque então
e isso contradiz
.
Portanto os únicos valores possíveis para
são
ou
.
Passo 5
Agora calculemos
.
- Para
: como antes, para cada primo distinto de pelo menos um dos números não é divisível por , então e têm mínimo . Assim esses primos não contribuem. - Para
: o expoente de em é
Mas já sabemos que
. Portanto o expoente é
. Logo
Isto vale para todos os casos compatíveis com
; não há dependência adicional.
Passo 6
Exemplos numéricos para fixar a intuição (escolhendo
só para ilustrar):
- Tomar
, . Aqui . Temos e , ou seja . - Tomar
, . Aqui . Temos e , ou seja . - Em ambos os exemplos
.