Sejam A, B e C pontos do plano que determinam um triângulo A B C. Sejam D e S pontos dos segmentos A C e B C respectivamente, se \overrightarrow{D S} \| \overrightarrow{A B} e a seguinte igualdade é satisfeita
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}
Diga qual das seguintes igualdades são verdadeiras:
a) \overrightarrow{S D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B A}-\frac{1}{3} \overrightarrow{C A}.
b) \overrightarrow{D S}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}.
c) \overrightarrow{B D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}-\frac{3}{2} \overrightarrow{D S}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC, com D em AC e S em BC, tal que \overrightarrow{DS}\parallel\overrightarrow{AB} e
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\frac13\,\overrightarrow{AC}.
Vamos usar álgebra vetorial e o Teorema de Tales (semelhança de triângulos) para decidir quais igualdades são verdadeiras.

Passo 2

Pela relação \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}, temos
\overrightarrow{AD}=\frac13\,\overrightarrow{AC}.
Logo AD=\tfrac13\,AC e DC=AC-AD=\tfrac23\,AC.

Passo 3

Como \overrightarrow{DS}\parallel\overrightarrow{AB}, os triângulos DCS e CAB são semelhantes, e
\overrightarrow{DS} =\frac{DC}{AC}\,\overrightarrow{AB} =\frac23\,\overrightarrow{AB}.
Portanto a igualdade (b) \overrightarrow{DS}=\tfrac13\,\overrightarrow{AB} é falsa.

Passo 4

Para (a) calculamos \overrightarrow{SD}=-\overrightarrow{DS}=-\tfrac23\,\overrightarrow{AB}.
Agora o lado direito de (a) é
\tfrac13\,\overrightarrow{CB} +\overrightarrow{BA} -\tfrac13\,\overrightarrow{CA} =\tfrac13(-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}) +(-\overrightarrow{AB}) -\tfrac13(-\overrightarrow{AC}) =-\tfrac23\,\overrightarrow{AB},
que coincide com \overrightarrow{SD}. Logo (a) é verdadeira.

Passo 5

Para (c) substituímos \overrightarrow{DS}=\tfrac23\,\overrightarrow{AB} em \tfrac13\,\overrightarrow{AC}-\tfrac32\,\overrightarrow{DS}:
\tfrac13\,\overrightarrow{AC} -\tfrac32\cdot\tfrac23\,\overrightarrow{AB} =\tfrac13\,\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} =-\overrightarrow{AB}+\tfrac13\,\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{BD},
pois \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} =-\overrightarrow{AB}+\tfrac13\,\overrightarrow{AC}.
Assim (c) é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Falsa
c) Verdadeira

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