Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Sejam
. Mostre que
.
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos construídos a partir de complementos em
. O conteúdo é a Lei de De Morgan para complementos em um universo
. Vamos usar a definição de complemento relativo
e mostrar que
Passo 2
Mostramos primeiro que
Seja
. Então
e
. Mas
significa que
ou
. Se
então
; se
então
. Em qualquer caso
. Logo
Passo 3
Agora provamos a inclusão inversa
Seja
. Então ou
ou
. Em qualquer caso
. Além disso, se
então
, e se
então
. Em ambos os casos
. Assim
. Portanto
Resposta
Como temos as duas inclusões, concluímos