Sejam A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime} e C^{\prime} conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Sejam B, B^{\prime} \subset A. Mostre que C_{A}\left(B \cap B^{\prime}\right)=C_{A}(B) \cup C_{A}\left(B^{\prime}\right).

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos construídos a partir de complementos em A. O conteúdo é a Lei de De Morgan para complementos em um universo A. Vamos usar a definição de complemento relativo
C_{A}(X)=A\setminus X
e mostrar que
A\setminus(B\cap B')=(A\setminus B)\cup(A\setminus B').

Passo 2

Mostramos primeiro que
A\setminus(B\cap B')\subseteq (A\setminus B)\cup(A\setminus B').
Seja x\in A\setminus(B\cap B'). Então x\in A e x\notin B\cap B'. Mas x\notin B\cap B' significa que x\notin B ou x\notin B'. Se x\notin B então x\in A\setminus B; se x\notin B' então x\in A\setminus B'. Em qualquer caso x\in (A\setminus B)\cup(A\setminus B'). Logo
A\setminus(B\cap B')\subseteq (A\setminus B)\cup(A\setminus B').

Passo 3

Agora provamos a inclusão inversa
(A\setminus B)\cup(A\setminus B')\subseteq A\setminus(B\cap B').
Seja x\in (A\setminus B)\cup(A\setminus B'). Então ou x\in A\setminus B ou x\in A\setminus B'. Em qualquer caso x\in A. Além disso, se x\in A\setminus B então x\notin B, e se x\in A\setminus B' então x\notin B'. Em ambos os casos x\notin B\cap B'. Assim x\in A\setminus(B\cap B'). Portanto
(A\setminus B)\cup(A\setminus B')\subseteq A\setminus(B\cap B').

Resposta

Como temos as duas inclusões, concluímos
C_{A}(B\cap B')=C_{A}(B)\cup C_{A}(B').

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