Sejam A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime} e C^{\prime} conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Se B \subset A, então B \cup C_{A}(B)=A e B \cap C_{A}(B)=\emptyset.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se B\subset A e definirmos
C_{A}(B)=A\setminus B = \{\,x\in A\mid x\notin B\}\!,
então valem as duas identidades:
  1. B\cup C_{A}(B)=A.
  2. B\cap C_{A}(B)=\emptyset.

Passo 2

Prova de B\cup C_{A}(B)=A.
Para mostrar que dois conjuntos são iguais, mostramos as duas inclusões.
(i) B\cup C_{A}(B)\subset A.
Se x\in B\cup C_{A}(B), então ou x\in B ou x\in C_{A}(B).
  • Se x\in B, como B\subset A, segue x\in A.
  • Se x\in C_{A}(B), por definição C_{A}(B)\subset A, logo x\in A.
    Assim, em qualquer caso x\in A, o que prova B\cup C_{A}(B)\subset A.
(ii) A\subset B\cup C_{A}(B).
Se x\in A, há duas possibilidades:
  • Se x\in B, então claramente x\in B\subset B\cup C_{A}(B).
  • Se x\notin B, então, por definição, x\in A\setminus B=C_{A}(B), e portanto x\in B\cup C_{A}(B).
    Logo, todo x\in A está em B\cup C_{A}(B), ou seja, A\subset B\cup C_{A}(B).
Com (i) e (ii) concluímos B\cup C_{A}(B)=A.

Passo 3

Prova de B\cap C_{A}(B)=\emptyset.
Suponha, por contradição, que exista x\in B\cap C_{A}(B).
Então x\in B e ao mesmo tempo x\in A\setminus B, isto é, x\notin B.
Isso é impossível. Logo não existe tal x, e B\cap C_{A}(B)=\emptyset.

Resposta

  1. B\cup C_{A}(B)=A.
  2. B\cap C_{A}(B)=\emptyset.

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