Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Se
, então
e
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
e definirmos
então valem as duas identidades:
-
. -
.
Passo 2
Prova de
.
Para mostrar que dois conjuntos são iguais, mostramos as duas inclusões.
Para mostrar que dois conjuntos são iguais, mostramos as duas inclusões.
(i)
.
Se , então ou
ou
.
Se
- Se
, como , segue . - Se
, por definição , logo .
Assim, em qualquer caso, o que prova .
(ii)
.
Se , há duas possibilidades:
Se
- Se
, então claramente . - Se
, então, por definição, , e portanto .
Logo, todoestá em , ou seja, .
Com (i) e (ii) concluímos
.
Passo 3
Prova de
.
Suponha, por contradição, que exista .
Então e ao mesmo tempo
, isto é,
.
Isso é impossível. Logo não existe tal , e
.
Suponha, por contradição, que exista
Então
Isso é impossível. Logo não existe tal
Resposta
-
. -
.