Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Prove que
;
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são subconjuntos de um conjunto
. Ou seja, entre as informações estão:
-
. -
. -
.
A pergunta é: provar que
.
Passo 2
Vamos lembrar definições básicas (aquelas que usamos como ferramentas):
-
Definição de união: um elemento
pertence a se, e somente se, ou . Em símbolos: Isso significa que a união reúne todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. -
Definição de subconjunto:
significa que todo elemento de também pertence a . Em símbolos: -
Igualdade de conjuntos: dois conjuntos
e são iguais se, e somente se, e . Então para provar basta provar as duas inclusões e .
Passo 3
Provar
.
Tome um elemento arbitrário
tal que
. Pela definição de união, isso significa que
ou
.
- Se
, então claramente . - Se
, como sabemos que (informação do enunciado), então também .
Em ambos os casos chegamos a
. Como
foi arbitrário, concluímos que todo elemento de
pertence a
. Logo
Passo 4
Provar
.
Tome um elemento arbitrário
tal que
. Pela definição de união, se
então
(porque a união contém todos os elementos de
). Portanto todo elemento de
está em
, isto é
Passo 5
Concluir a igualdade.
Como mostramos ambas as inclusões
pela definição de igualdade de conjuntos temos
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a intuição: seja
e
(aqui
). Então
. Isso confirma concretamente o que provamos de forma geral.
Passo 7
Resumo final e encorajamento: a prova é um típico “element chasing” com duas inclusões usando que
e a definição de união. Boa — você já domina esse tipo de argumento; em provas, fazer exatamente essas duas etapas (pegar
e depois
) costuma resolver rápido.