Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto X. Prove que
A \cup X=X;

Passo 1

O enunciado dá que A, B e C são subconjuntos de um conjunto X. Ou seja, entre as informações estão:
  • A\subseteq X.
  • B\subseteq X.
  • C\subseteq X.
A pergunta é: provar que \;A\cup X = X\;.

Passo 2

Vamos lembrar definições básicas (aquelas que usamos como ferramentas):
  • Definição de união: um elemento x pertence a A\cup X se, e somente se, x\in A ou x\in X. Em símbolos:
    x\in A\cup X \iff (x\in A)\\ \text{ou}\\ (x\in X).
    Isso significa que a união reúne todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos.
  • Definição de subconjunto: A\subseteq X significa que todo elemento de A também pertence a X. Em símbolos:
    \forall x,\\ x\in A \implies x\in X.
  • Igualdade de conjuntos: dois conjuntos U e V são iguais se, e somente se, U\subseteq V e V\subseteq U. Então para provar A\cup X = X basta provar as duas inclusões \;A\cup X\subseteq X\; e \;X\subseteq A\cup X\;.

Passo 3

Provar \;A\cup X\subseteq X\;.
Tome um elemento arbitrário x tal que x\in A\cup X. Pela definição de união, isso significa que x\in A ou x\in X.
  • Se x\in X, então claramente x\in X.
  • Se x\in A, como sabemos que A\subseteq X (informação do enunciado), então também x\in X.
Em ambos os casos chegamos a x\in X. Como x foi arbitrário, concluímos que todo elemento de A\cup X pertence a X. Logo
A\cup X \subseteq X.

Passo 4

Provar \;X\subseteq A\cup X\;.
Tome um elemento arbitrário x tal que x\in X. Pela definição de união, se x\in X então x\in A\cup X (porque a união contém todos os elementos de X). Portanto todo elemento de X está em A\cup X, isto é
X \subseteq A\cup X.

Passo 5

Concluir a igualdade.
Como mostramos ambas as inclusões
A\cup X \subseteq X \quad\text{e}\quad X \subseteq A\cup X,
pela definição de igualdade de conjuntos temos
A\cup X = X.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a intuição: seja X=\{1,2,3\} e A=\{1\} (aqui A\subseteq X). Então A\cup X=\{1\}\cup\{1,2,3\}=\{1,2,3\}=X. Isso confirma concretamente o que provamos de forma geral.

Passo 7

Resumo final e encorajamento: a prova é um típico “element chasing” com duas inclusões usando que A\subseteq X e a definição de união. Boa — você já domina esse tipo de argumento; em provas, fazer exatamente essas duas etapas (pegar x\in A\cup X e depois x\in X) costuma resolver rápido.

Resposta

A\cup X = X

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