Calcule:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a interseção
Informações dadas:
-
é um ponto fixo (assumimos ). - A interseção é tomada sobre todos os
. - Cada conjunto da família é o intervalo aberto
, centrado em com raio .
A pergunta é: quais pontos pertencem a todos esses intervalos simultaneamente?
Passo 2
Mostro primeiro que
pertence à interseção. Para qualquer
temos
logo
para todo
. Portanto
pertence à interseção de todos eles.
Passo 3
Agora mostro que nenhum outro ponto
pode pertencer à interseção. Seja
com
. Defina
Como
, tem-se
. Tome
. Então
, isto é,
Isto significa que
não está no intervalo
(porque pontos desse intervalo têm distância do centro
menor que
). Logo existe pelo menos um
tal que
. Assim
não pertence à interseção sobre todos os
.
Passo 4
Juntando os passos anteriores:
pertence à interseção e nenhum
pertence. Portanto a interseção é exatamente o conjunto formado por
sozinho.