Calcule:
(\mathrm{e}) \bigcap_{\varepsilon>0}\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a interseção
\bigcap_{\varepsilon>0}\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right).
Informações dadas:
  • x_{0} é um ponto fixo (assumimos x_{0}\in\mathbb{R}).
  • A interseção é tomada sobre todos os \varepsilon>0.
  • Cada conjunto da família é o intervalo aberto \left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right), centrado em x_{0} com raio \varepsilon.
A pergunta é: quais pontos pertencem a todos esses intervalos simultaneamente?

Passo 2

Mostro primeiro que x_{0} pertence à interseção. Para qualquer \varepsilon>0 temos
x_{0}-\varepsilon < x_{0} < x_{0}+\varepsilon,
logo x_{0}\in\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right) para todo \varepsilon>0. Portanto x_{0} pertence à interseção de todos eles.

Passo 3

Agora mostro que nenhum outro ponto y\neq x_{0} pode pertencer à interseção. Seja y\in\mathbb{R} com y\neq x_{0}. Defina
d=\lvert y-x_{0}\rvert.
Como y\neq x_{0}, tem-se d>0. Tome \varepsilon=\dfrac{d}{2}>0. Então \varepsilon<d, isto é,
\lvert y-x_{0}\rvert = d > \varepsilon.
Isto significa que y não está no intervalo \left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right) (porque pontos desse intervalo têm distância do centro x_{0} menor que \varepsilon). Logo existe pelo menos um \varepsilon>0 tal que y\notin\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right). Assim y não pertence à interseção sobre todos os \varepsilon>0.

Passo 4

Juntando os passos anteriores: x_{0} pertence à interseção e nenhum y\neq x_{0} pertence. Portanto a interseção é exatamente o conjunto formado por x_{0} sozinho.

Resposta

\{x_{0}\}

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