Sejam a, b, c termos consecutivos, nesta ordem, de uma Progressão Aritmética de razão r tais que a \leqslant b \leqslant c. Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo, determine a medida de c, sabendo que:
r=2

Passo 1

O enunciado diz que a, b e c são termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão r=2. Logo podemos escrever
b = a + 2, \quad c = a + 4.
Além disso, a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, com c sendo o maior lado.

Passo 2

Para que a, b e c formem um triângulo retângulo, vale o Teorema de Pitágoras:
a^2 + b^2 = c^2.
Substituindo b = a + 2 e c = a + 4, temos
a^2 + (a+2)^2 = (a+4)^2.

Passo 3

Desenvolvendo a equação:
a^2 + (a^2 + 4a + 4) = a^2 + 8a + 16
2a^2 + 4a + 4 = a^2 + 8a + 16
2a^2 + 4a + 4 - a^2 - 8a - 16 = 0
a^2 - 4a - 12 = 0.
Resolvendo a equação quadrática:
a = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-12)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}.
Assim, a = 6 ou a = -2.

Passo 4

Como a, b e c são comprimentos positivos e obedecem a \le b \le c, descartamos a=-2. Logo a=6,
b = a+2 = 8, \quad c = a+4 = 10.

Resposta

A medida de c é 10.

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