Sejam
termos consecutivos, nesta ordem, de uma Progressão Aritmética de razão
tais que
. Se
e
são as medidas dos lados de um triângulo retângulo, determine a medida de
, sabendo que:
Passo 1
O enunciado diz que
são termos consecutivos, nesta ordem, de uma progressão aritmética de razão
e satisfazem
. Além disso,
são as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Para resolver, vamos usar (i) a definição de progressão aritmética e (ii) o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Em qualquer progressão aritmética de razão
valem
Como
, temos
Passo 3
Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo com hipotenusa
vale
Passo 4
Substituindo
e
em
, obtemos
Expandindo,
Transpondo tudo para um lado,
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
pela fórmula de Bhaskara:
Isso dá duas raízes:
Passo 6
Para que
sejam lados de um triângulo e satisfaçam
, precisamos de comprimentos positivos. Se
então
e
, o que não forma triângulo. Logo,
. Daí