Sejam a, b, c termos consecutivos, nesta ordem, de uma Progressão Aritmética de razão r tais que a \leqslant b \leqslant c. Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo, determine a medida de c, sabendo que:
r=4

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c são termos consecutivos, nesta ordem, de uma progressão aritmética de razão r=4 e satisfazem a\le b\le c. Além disso, a,b,c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Para resolver, vamos usar (i) a definição de progressão aritmética e (ii) o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Em qualquer progressão aritmética de razão r valem
b = a + r
c = a + 2r
Como r=4, temos
b = a + 4
c = a + 8

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo com hipotenusa c vale
a^2 + b^2 = c^2.

Passo 4

Substituindo b=a+4 e c=a+8 em a^2+b^2=c^2, obtemos
a^2 + (a+4)^2 = (a+8)^2.
Expandindo,
a^2 + (a^2 + 8a + 16) = a^2 + 16a + 64
2a^2 + 8a + 16 = a^2 + 16a + 64.
Transpondo tudo para um lado,
2a^2 - a^2 + 8a -16a +16 -64 = 0
a^2 - 8a - 48 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática \,a^2 -8a -48=0 pela fórmula de Bhaskara:
a = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4\cdot1\cdot(-48)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{8 \pm 16}{2}.
Isso dá duas raízes:
a = \frac{8 + 16}{2} = 12 \quad\text{ou}\quad a = \frac{8 - 16}{2} = -4.

Passo 6

Para que a,b,c sejam lados de um triângulo e satisfaçam a\le b\le c, precisamos de comprimentos positivos. Se a=-4 então b=0 e c=4, o que não forma triângulo. Logo, a=12. Daí
c = a + 8 = 12 + 8 = 20.

Resposta

20

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