Sejam A, B, C três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos a seguir usando as operações de união, interseção e complementação:
No máximo dois ocorrem: \overline{A \cap B \cap C}.

Passo 1

O enunciado dá três eventos A,B,C e pede para expressar, usando união, interseção e complementação, o evento “No máximo dois ocorrem”.
Informação fornecida pelo enunciado: a expressão proposta \overline{A \cap B \cap C}.

Passo 2

Entender o significado lógico da frase “No máximo dois ocorrem”. Isso significa que não acontece a situação “os três ocorrem simultaneamente”. A situação “os três ocorrem” é exatamente o evento
A\cap B\cap C.
Portanto “no máximo dois ocorrem” é o complemento desse evento, ou seja
\text{No máximo dois ocorrem}=\overline{A\cap B\cap C}.á
Isto já é uma expressão usando interseção e complementação, coerente com o que o enunciado indicou.

Passo 3

Aplicar a Lei de De Morgan para reescrever a expressão de forma que apareça uma união (às vezes mais intuitiva). A Lei de De Morgan diz, em particular, que o complemento da interseção é a união dos complementos. Logo
\overline{A\cap B\cap C}=\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}.
Interpretação intuitiva: “pelo menos um dos eventos A,B,C não ocorre” é equivalente a “não é verdade que os três ocorram”.

Passo 4

Opcionalmente, podemos também escrever o evento como união disjunta dos casos mutuamente exclusivos: nenhum ocorre, exatamente um ocorre, ou exatamente dois ocorrem. Esses eventos são:
\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}
(nenhum ocorre),
(A\cap\overline{B}\cap\overline{C})\;\cup\;(\overline{A}\cap B\cap\overline{C})\;\cup\;(\overline{A}\cap\overline{B}\cap C)
(exatamente um ocorre),
(A\cap B\cap\overline{C})\;\cup\;(A\cap\overline{B}\cap C)\;\cup\;(\overline{A}\cap B\cap C)
(exatamente dois ocorrem). A união de todos esses sete eventos dá novamente \overline{A\cap B\cap C}.

Passo 5

Resumo das equivalências importantes (úteis para responder rápido numa prova):
\overline{A\cap B\cap C}=\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C},
e também
\overline{A\cap B\cap C}= \overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C} \;\cup\; (A\cap\overline{B}\cap\overline{C})\;\cup\;(\overline{A}\cap B\cap\overline{C})\;\cup\;(\overline{A}\cap\overline{B}\cap C) \;\cup\; (A\cap B\cap\overline{C})\;\cup\;(A\cap\overline{B}\cap C)\;\cup\;(\overline{A}\cap B\cap C).

Resposta

\overline{A\cap B\cap C}=\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}
\overline{A\cap B\cap C}=\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}\;\cup\;(A\cap\overline{B}\cap\overline{C})\;\cup\;(\overline{A}\cap B\cap\overline{C})\;\cup\;(\overline{A}\cap\overline{B}\cap C)\;\cup\;(A\cap B\cap\overline{C})\;\cup\;(A\cap\overline{B}\cap C)\;\cup\;(\overline{A}\cap B\cap C)

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