Sejam A, B, C três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos a seguir usando as operações de união, interseção e complementação:
Exatamente dois ocorrem: (A \cap B \cap \bar{C}) \cup(A \cap \bar{B} \cap C) \cup(\bar{A} \cap B \cap C).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
São dados três eventos do espaço amostral: A, B e C.
A pergunta é: escrever o evento “exatamente dois ocorrem” usando apenas união, interseção e complementação.
Informação implícita que usaremos: \bar{A} denota o complemento de A (ou seja, “A não ocorre”).
Passo 2
Entendendo claramente o que significa “exatamente dois ocorrem”:
“Exatamente dois ocorrem” significa que escolhendo qualquer par dentre A,B,C, esses dois ocorrem simultaneamente e o terceiro não ocorre.
Isso gera três casos mutuamente exclusivos:
A e B ocorrem, e C não ocorre;
A e C ocorrem, e B não ocorre;
B e C ocorrem, e A não ocorre.
Passo 3
Escrevendo cada um desses casos com interseção e complementação:
Caso 1: " A e B ocorrem, C não" é o evento \;A\cap B\cap\bar{C}.
Caso 2: " A e C ocorrem, B não" é o evento \;A\cap\bar{B}\cap C.
Caso 3: " B e C ocorrem, A não" é o evento \;\bar{A}\cap B\cap C.
Passo 4
Unindo os três casos (pois qualquer um dos três satisfaz “exatamente dois ocorrem”):
O evento “exatamente dois ocorrem” é a união dos três conjuntos acima:
pois A\cap B\cap\bar{A}=\varnothing e A\cap B\cap\bar{B}=\varnothing. Fazendo o mesmo para os outros termos obtém-se exatamente a união do Passo 4, logo as duas formas são equivalentes.
Passo 6
Observação prática e encorajamento:
Os três conjuntos em Passo 4 são mutuamente disjuntos (duas interseções distintas forçam uma contradição em um dos fatores), então, em termos de probabilidade, \mathbb{P}(\text{exatamente dois}) é simplesmente a soma das probabilidades desses três eventos.
Bom trabalho até aqui — agora você já sabe escrever e manipular esse tipo de evento passo a passo; é só treinar um pouco que fica automático na prova!
Resposta
(A\cap B\cap\bar{C})\\ \cup\\ (A\cap\bar{B}\cap C)\\ \cup\\ (\bar{A}\cap B\cap C)