Sejam A, B, C três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos a seguir usando as operações de união, interseção e complementação:
Exatamente dois ocorrem: (A \cap B \cap \bar{C}) \cup(A \cap \bar{B} \cap C) \cup(\bar{A} \cap B \cap C).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • São dados três eventos do espaço amostral: A, B e C.
  • A pergunta é: escrever o evento “exatamente dois ocorrem” usando apenas união, interseção e complementação.
  • Informação implícita que usaremos: \bar{A} denota o complemento de A (ou seja, “A não ocorre”).

Passo 2

Entendendo claramente o que significa “exatamente dois ocorrem”:
  • “Exatamente dois ocorrem” significa que escolhendo qualquer par dentre A,B,C, esses dois ocorrem simultaneamente e o terceiro não ocorre.
  • Isso gera três casos mutuamente exclusivos:
    1. A e B ocorrem, e C não ocorre;
    2. A e C ocorrem, e B não ocorre;
    3. B e C ocorrem, e A não ocorre.

Passo 3

Escrevendo cada um desses casos com interseção e complementação:
  • Caso 1: " A e B ocorrem, C não" é o evento \;A\cap B\cap\bar{C}.
  • Caso 2: " A e C ocorrem, B não" é o evento \;A\cap\bar{B}\cap C.
  • Caso 3: " B e C ocorrem, A não" é o evento \;\bar{A}\cap B\cap C.

Passo 4

Unindo os três casos (pois qualquer um dos três satisfaz “exatamente dois ocorrem”):
  • O evento “exatamente dois ocorrem” é a união dos três conjuntos acima:
(A\cap B\cap\bar{C})\\ \cup\\ (A\cap\bar{B}\cap C)\\ \cup\\ (\bar{A}\cap B\cap C).

Passo 5

Mostrando uma forma alternativa e sua equivalência (útil para cálculo de probabilidade):
  • Note que (A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C) reúne todos os casos em que pelo menos dois ocorrem, incluindo o caso em que os três ocorrem.
  • Para excluir o caso “os três ocorrem” (ou seja, A\cap B\cap C), intersecta-se com o complemento desse caso:
\big((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)\big)\cap\overline{A\cap B\cap C}.
  • Aplicando a distributividade de interseção sobre união, por exemplo
(A\cap B)\cap\overline{A\cap B\cap C}=A\cap B\cap\overline{A\cap B\cap C}=A\cap B\cap\bar{C},
pois A\cap B\cap\bar{A}=\varnothing e A\cap B\cap\bar{B}=\varnothing. Fazendo o mesmo para os outros termos obtém-se exatamente a união do Passo 4, logo as duas formas são equivalentes.

Passo 6

Observação prática e encorajamento:
  • Os três conjuntos em Passo 4 são mutuamente disjuntos (duas interseções distintas forçam uma contradição em um dos fatores), então, em termos de probabilidade, \mathbb{P}(\text{exatamente dois}) é simplesmente a soma das probabilidades desses três eventos.
  • Bom trabalho até aqui — agora você já sabe escrever e manipular esse tipo de evento passo a passo; é só treinar um pouco que fica automático na prova!

Resposta

(A\cap B\cap\bar{C})\\ \cup\\ (A\cap\bar{B}\cap C)\\ \cup\\ (\bar{A}\cap B\cap C)

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