Sejam A e B eventos com P(A)=\frac{1}{4}, P(A \cup B)=\frac{1}{3} e P(B)=p.
Encontre p, se A e B sāo mutuamente exclusivos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • P(A)=\dfrac{1}{4}.
  • P(A\cup B)=\dfrac{1}{3}.
  • P(B)=p (valor desconhecido que precisamos encontrar).
  • Diz que A e B são mutuamente exclusivos (ou seja, não ocorrem simultaneamente).
O que o problema pede:
  • Encontrar o valor de p sabendo as informações acima.

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula básica de probabilidade que liga união, interseção e probabilidades individuais. Para quaisquer eventos A e B vale:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Aqui:
  • P(A\cup B) é a probabilidade de que ocorra A ou B (ou ambos).
  • P(A) e P(B) são as probabilidades individuais.
  • P(A\cap B) é a probabilidade de que ambos ocorram ao mesmo tempo.
Explicando de forma simples: ao somar P(A)+P(B) contamos duas vezes a parte em que ambos ocorrem, por isso subtraímos P(A\cap B).

Passo 3

O enunciado diz que A e B são mutuamente exclusivos. Isso significa, por definição, que eles não podem ocorrer juntos. Em termos de probabilidade:
P(A\cap B)=0.
Portanto, a fórmula do passo anterior simplifica-se para:
P(A\cup B)=P(A)+P(B).

Passo 4

Agora substituímos os valores conhecidos nessa igualdade. Temos P(A\cup B)=\dfrac{1}{3}, P(A)=\dfrac{1}{4} e P(B)=p. Assim:
\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}+p.
Isolando p:
p=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Calculamos a diferença com denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3 e 4 é 12. Convertendo:
\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12},\qquad \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}.
Logo
p=\dfrac{4}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{12}.

Passo 6

Cheque rápido de coerência: p=\dfrac{1}{12} é um número entre 0 e 1, e a soma P(A)+P(B)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3} bate com P(A\cup B). Tudo consistente — ótima notícia!

Resposta

p=\dfrac{1}{12}

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