Uma caixa contém 5 tubos de rádio dos quais 2 são defeituosos. Os tubos são testados um após o outro até que os dois tubos defeituosos sejam encontrados. Qual é a probabilidade do processo parar no terceiro teste?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma caixa com
tubos de rádio. - Desses
, exatamente são defeituosos e são bons. - Os tubos são testados um a um, sem reposição, até que ambos os tubos defeituosos sejam encontrados.
O que se pede: - A probabilidade de que o processo pare exatamente no terceiro teste (ou seja, que o segundo tubo defeituoso seja encontrado no teste número
).
Passo 2
Vamos entender claramente que evento queremos: o segundo defeituoso aparece no teste
. Isso significa que, entre os três primeiros testes, há exatamente
defeituosos e, adicionalmente, o terceiro teste precisa ser defeituoso. Em termos de sequência dos resultados (onde
= defeituoso e
= bom), as únicas sequências compatíveis com “parar no terceiro teste” são:
-
(defeituoso no 1º, bom no 2º, defeituoso no 3º) -
(bom no 1º, defeituoso no 2º, defeituoso no 3º)
A probabilidade de cada sequência é calculada pela regra do produto para probabilidades condicionais:
Isto vale porque os testes são feitos sem reposição, então cada probabilidade condicional leva em conta as coisas já observadas.
Passo 3
Calcular
.
- Probabilidade do primeiro ser defeituoso:
. - Dado que saiu um defeituoso, restam
defeituoso e bons entre tubos, então . - Dado
e , restam defeituoso entre tubos, então .
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Calcular
.
- Probabilidade do primeiro ser bom:
. - Dado
, restam defeituosos entre tubos, então . - Dado
e , resta defeituoso entre tubos, então .
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
A probabilidade de parar exatamente no terceiro teste é a soma das probabilidades das duas sequências mutuamente exclusivas: