Uma caixa contém 5 tubos de rádio dos quais 2 são defeituosos. Os tubos são testados um após o outro até que os dois tubos defeituosos sejam encontrados. Qual é a probabilidade do processo parar no terceiro teste?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma caixa com 5 tubos de rádio.
  • Desses 5, exatamente 2 são defeituosos e 3 são bons.
  • Os tubos são testados um a um, sem reposição, até que ambos os tubos defeituosos sejam encontrados.
    O que se pede:
  • A probabilidade de que o processo pare exatamente no terceiro teste (ou seja, que o segundo tubo defeituoso seja encontrado no teste número 3).

Passo 2

Vamos entender claramente que evento queremos: o segundo defeituoso aparece no teste 3. Isso significa que, entre os três primeiros testes, há exatamente 2 defeituosos e, adicionalmente, o terceiro teste precisa ser defeituoso. Em termos de sequência dos resultados (onde D = defeituoso e G = bom), as únicas sequências compatíveis com “parar no terceiro teste” são:
  • D,G,D (defeituoso no 1º, bom no 2º, defeituoso no 3º)
  • G,D,D (bom no 1º, defeituoso no 2º, defeituoso no 3º)
A probabilidade de cada sequência é calculada pela regra do produto para probabilidades condicionais:
P(A\\ \text{e}\\ B\\ \text{e}\\ C)=P(A)\,P(B\mid A)\,P(C\mid A,B).
Isto vale porque os testes são feitos sem reposição, então cada probabilidade condicional leva em conta as coisas já observadas.

Passo 3

Calcular P(D,G,D).
  • Probabilidade do primeiro ser defeituoso: P(D_1)=\dfrac{2}{5}.
  • Dado que saiu um defeituoso, restam 1 defeituoso e 3 bons entre 4 tubos, então P(G_2\mid D_1)=\dfrac{3}{4}.
  • Dado D_1 e G_2, restam 1 defeituoso entre 3 tubos, então P(D_3\mid D_1,G_2)=\dfrac{1}{3}.
Aplicando a regra do produto:
P(D,G,D)=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}.

Passo 4

Calcular P(G,D,D).
  • Probabilidade do primeiro ser bom: P(G_1)=\dfrac{3}{5}.
  • Dado G_1, restam 2 defeituosos entre 4 tubos, então P(D_2\mid G_1)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
  • Dado G_1 e D_2, resta 1 defeituoso entre 3 tubos, então P(D_3\mid G_1,D_2)=\dfrac{1}{3}.
Aplicando a regra do produto:
P(G,D,D)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{30}=\dfrac{1}{10}.

Passo 5

A probabilidade de parar exatamente no terceiro teste é a soma das probabilidades das duas sequências mutuamente exclusivas:
P(\text{parar no 3º})=P(D,G,D)+P(G,D,D)=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}.º

Resposta

\dfrac{1}{5}

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