Sejam a, b \in \mathbb{Z} tais que (a, b)=1. Mostre que:
(a+b, a b)=1

Passo 1

O enunciado diz que a,b\in\mathbb{Z} e que (a,b)=1. A tarefa é mostrar que (a+b,ab)=1. Ou seja, preciso provar que nenhum inteiro d>1 divide simultaneamente a+b e ab.
A estratégia que vou usar é mostrar que nenhum primo p pode dividir simultaneamente a+b e ab. Se nenhum primo divide ambos, então nenhum inteiro d>1 (que tem um primo como divisor) pode dividir ambos, e portanto o máximo divisor comum é 1. Para isso vou usar o lema de Euclides: se p é primo e p\mid xy então p\mid x ou p\mid y.

Passo 2

Lema de Euclides: se p é primo e p\mid xy então p\mid x ou p\mid y.
Justificativa: suponha que p\mid xy e que p\nmid x. Como p é primo e não divide x, temos (p,x)=1. Pelo Teorema de Bézout existe uma combinação linear inteira
u p + v x = 1
para alguns inteiros u,v. Multiplicando ambos os lados por y obtemos
u p y + v x y = y.
Pelo hipótese p\mid xy o termo v x y é múltiplo de p, e obviamente u p y também é múltiplo de p. Portanto a soma u p y + v x y é múltiplo de p, o que implica p\mid y. Assim, se p\nmid x então necessariamente p\mid y. Isso prova o lema.

Passo 3

Agora aplico o lema ao problema. Suponha, por absurdo, que existe um primo p tal que p\mid (a+b) e p\mid ab. Como p\mid ab, pelo lema de Euclides segue que p\mid a ou p\mid b. Vou tratar as duas possibilidades:
Caso p\mid a. Como também p\mid (a+b), ao subtrair a das duas quantidades temos que p divide a diferença:
p\mid (a+b) \quad\text{e}\quad p\mid a \quad\Rightarrow\quad p\mid\bigl((a+b)-a\bigr)=b.
Logo p divide tanto a quanto b, ou seja, p é um divisor comum de a e b. Isso contradiz a hipótese (a,b)=1.
Caso p\mid b. Argumento análogo: como p\mid (a+b) e p\mid b, subtraindo b obtemos p\mid a. Novamente p divide a e b, contradizendo (a,b)=1.

Passo 4

Concluímos que não existe primo p que divida simultaneamente a+b e ab. Logo não existe inteiro d>1 que divida ambos (pois todo d>1 tem um primo como divisor). Portanto o máximo divisor comum é 1, isto é, (a+b,ab)=1.

Resposta

(a+b,ab)=1

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